#44. (difícil) Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo ([Sp] p. 406 no.2):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n!}{n^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}\,n!}{n^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{3^{n}\,n!}{n^{n}}. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série infinita.

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (também chamado de Critério de D’Alembert). Antes de aplicar, explico o que é esse teste e por que ele é útil aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos \displaystyle\sum a_n, considere o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Razão da escolha: a presença de n! e potências 3^n e n^n faz com que o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} simplifique bem (fatores se cancelam), então o teste da razão é natural e elementar — não precisamos invocar fórmulas mais avançadas.

Passo 3

Calculo explicitamente o quociente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Começo escrevendo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{3^{n}\,n!}{n^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{3^{\,n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}.
Agora o quociente:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{\,n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{n}}{3^{n}\,n!}.

Passo 4

Simplifico o quociente passo a passo, cancelando fatores iguais:
  • 3^{\,n+1}/3^{n}=3.
  • (n+1)!/n!=(n+1).
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot (n+1)\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}}.
Posso reorganizar para isolar uma potência com expoente n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}\cdot\frac{n+1}{n+1} =3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Portanto temos a expressão simples
\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 5

Agora calculo o limite quando n\to\infty desse quociente. Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Conhecemos o limite padrão associado ao número e: \displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=e^{x}. Aplicando com x=-1 (e observando um pequeno ajuste no índice), uma forma direta é escrever
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} =\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\rulesep^{\frac{n}{n+1}}.
Aqui usei a identidade A^{n}=A^{n+1}\cdot A^{-1} reorganizada — a ideia é que \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to e^{-1} quando n\to\infty, e o expoente \tfrac{n}{n+1}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}.
Se preferir uma justificativa rápida por séries de Taylor/linha:
\ln\!\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = n\ln\!\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \sim n\left(-\frac{1}{n+1}\right)\to -1,
logo o exponencial do limite dá e^{-1}. De qualquer forma, o resultado é
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}.

Passo 6

Voltando ao quociente com o fator 3:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =3\cdot e^{-1}=\frac{3}{e}.
Numérico aproximado: \displaystyle\frac{3}{e}\approx\frac{3}{2{,}71828}\approx 1{,}103>1.

Passo 7

Pelo Teste da Razão, se o limite do quociente é maior que 1, então a série diverge. Intuição: os termos não caem rápido o suficiente — na verdade, eventualmente eles aumentam como uma progressão geométrica com razão maior que 1, então a soma não pode convergir.
Portanto, concluímos que a série diverge.

Resposta

Diverge.

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