#44. (difícil) Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo ([Sp] p. 406 no.2):
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é
. A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série infinita.
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (também chamado de Critério de D’Alembert). Antes de aplicar, explico o que é esse teste e por que ele é útil aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte: para uma série de termos positivos
, considere o limite
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Razão da escolha: a presença de
e potências
e
faz com que o quociente
simplifique bem (fatores se cancelam), então o teste da razão é natural e elementar — não precisamos invocar fórmulas mais avançadas.
Passo 3
Calculo explicitamente o quociente
. Começo escrevendo
e
:
Agora o quociente:
Passo 4
Simplifico o quociente passo a passo, cancelando fatores iguais:
-
. -
.
Logo
Posso reorganizar para isolar uma potência com expoente
:
Portanto temos a expressão simples
Passo 5
Agora calculo o limite quando
desse quociente. Note que
Conhecemos o limite padrão associado ao número
:
. Aplicando com
(e observando um pequeno ajuste no índice), uma forma direta é escrever
Aqui usei a identidade
reorganizada — a ideia é que
quando
, e o expoente
. Portanto
Se preferir uma justificativa rápida por séries de Taylor/linha:
logo o exponencial do limite dá
. De qualquer forma, o resultado é
Passo 6
Voltando ao quociente com o fator
:
Numérico aproximado:
.
Passo 7
Pelo Teste da Razão, se o limite do quociente é maior que
, então a série diverge. Intuição: os termos não caem rápido o suficiente — na verdade, eventualmente eles aumentam como uma progressão geométrica com razão maior que
, então a soma não pode convergir.
Portanto, concluímos que a série diverge.
Resposta
Diverge.