Quando 4444^{4444} é escrito no sistema decimal, a soma dos algarismos é A. Seja B a soma dos dígitos de A. Calcule a soma dos dígitos de B.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos dígitos de B, em que B é a soma dos dígitos de A e A é a soma dos dígitos de 4444^{4444}. O conteúdo envolve raízes digitais e congruência módulo 9 para somas de dígitos. Vamos usar a propriedade de que a soma dos dígitos de um número é congruente a esse número módulo 9.

Passo 2

Como a soma dos dígitos preserva a congruência módulo 9, temos
A \equiv 4444^{4444} \pmod{9}.

Passo 3

Para calcular 4444^{4444} \bmod 9, note que
4444 \equiv 7 \pmod{9},
e, como \varphi(9)=6, basta reduzir o expoente módulo 6:
4444 \equiv 4 \pmod{6},
portanto
7^{4444} \equiv 7^4 \pmod{9}.
Calculando
7^2 = 49 \equiv 4 \pmod{9}, \quad 7^4 \equiv 4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}.
Logo
4444^{4444} \equiv 7 \pmod{9},
e assim
A \equiv 7 \pmod{9}.

Passo 4

Como A>0, a soma dos dígitos de A, que é B, também satisfaz
B \equiv A \equiv 7 \pmod{9}.
Além disso, B é no máximo 54, logo a soma dos dígitos de B coincide com sua raiz digital, resultando em 7.

Resposta

7

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