Sejam p>3 e q números naturais tais que os números p, p+q e p+2 q são primos. Prove que q é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado afirma que p>3 e q\in\mathbb{N} são tais que os três números
p,\quad p+q,\quad p+2q
são primos. Queremos mostrar que 6 divide q. Para isso vamos usar argumentos em \bmod 2 (paridade) e em \bmod 3.

Passo 2

Mostrando que 2 divide q.
Como p>3 e primo, temos p ímpar. Se q fosse ímpar, então
p+q\equiv \text{ímpar} + \text{ímpar}\equiv 0\pmod 2íí
seria um número par maior que 2, logo não poderia ser primo. Isso é absurdo. Portanto 2\mid q.

Passo 3

Mostrando que 3 divide q.
Como p>3 é primo, p\not\equiv0\pmod3, isto é, p\equiv1 ou 2\pmod3. Suponha, por contradição, que 3\nmid q. Então q\equiv1 ou 2\pmod3. Seja a\equiv p\pmod3 e b\equiv q\pmod3 com b\neq0. Então os restos de
p\equiv a,\quad p+q\equiv a+b,\quad p+2q\equiv a+2b
são três valores distintos em \{0,1,2\}. Assim um desses três números seria \equiv0\pmod3, ou seja, múltiplo de 3 e maior que 3, o que contradiz o fato de ser primo. Concluímos que 3\mid q.

Passo 4

Como 2\mid q e 3\mid q e \gcd(2,3)=1, segue que
6 = \mathrm{lcm}(2,3)\mid q.

Resposta

6\mid q.

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