Sejam
e
números naturais tais que os números
são primos. Prove que q é divisível por 6 .
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são tais que os três números
são primos. Queremos mostrar que
divide
. Para isso vamos usar argumentos em
(paridade) e em
.
Passo 2
Mostrando que
divide
.
Como e primo, temos
ímpar. Se
fosse ímpar, então
Como
seria um número par maior que
, logo não poderia ser primo. Isso é absurdo. Portanto
Passo 3
Mostrando que
divide
.
Como é primo,
, isto é,
ou
. Suponha, por contradição, que
. Então
ou
. Seja
e
com
. Então os restos de
Como
são três valores distintos em
. Assim um desses três números seria
, ou seja, múltiplo de
e maior que
, o que contradiz o fato de ser primo. Concluímos que
Passo 4
Como
e
e
, segue que