45-60 Encontre o limite.
45. lim x 0 sen 5 x3 x
46. lim x 0 sen xsen pi x
47. lim t 0 sen 3 tsen t
48. lim x 0 sen^2 3 xx
49. lim x 0 sen x-sen x cos xx^2
50. lim x 0 1-sec x2 x
51. lim x 0 tg 2 xx
52. lim theta 0 sen xtg 7 theta

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular vários limites de funções trigonométricas quando o argumento tende a zero. O conteúdo fundamental que vamos usar é:
  1. limuto0sin uu=1.
  2. limuto0tan uu=1.
  3. As expansões de primeira ordem:
    sin uapprox u,
    tan uapprox u,
    1-cos uapprox tfracu^22,
    sec u=1/cos uapprox1+tfracu^22.
A partir disso, reescrevemos cada limite para usar esses resultados.

Passo 2

Para
limxto0sin(5x)3x,
escrevemos
sin(5x)3x =53;sin(5x)5x
e como limxto0sin(5x)/(5x)=1, o limite vale
53times1=53

Passo 3

Para
limxto0sin xsin(pi x),
usamos aproximações lineares: sin xsim x e sin(pi x)simpi x. Logo
sin xsin(pi x) simxpi x=1pi
Assim o limite é tfrac1pi.

Passo 4

Para
limtto0sin(3t)sin t,
podemos escrever
sin(3t)sin t =sin(3t)3t;3tsin t
e cada fração tende a 1, salvo o fator 3. Portanto o limite é
3times1times1=3

Passo 5

Para
limxto0sin^2(3x)x,
fatoramos
sin^2(3x)x =gl(sin(3x)3xgr)^!2;9x^2x =9xgl(sin(3x)3xgr)^!2
Como sin(3x)/(3x)to1, fica 9xto0. Logo o limite é 0.

Passo 6

Para
limxto0sin x-sin xcos xx^2,
escrevemos
sin x,(1-cos x)x^2 =sin xx;1-cos xx
Como sin x/xto1 e (1-cos x)/xsim(x^2/2)/x=x/2to0, o limite é 1times0=0.

Passo 7

Para
limxto01-sec x2x,
usamos sec x=1/cos x. Então
1-sec x =1-1cos x =cos x-1cos x,
logo
1-sec x2x =cos x-12x,cos x sim-,tfracx^222xcdot1 =-x4to0

Passo 8

Para
limxto0tan(2x)x,
escrevemos
tan(2x)x =tan(2x)2x;2
e como tan(2x)/(2x)to1, o resultado é 2.

Passo 9

Para
limthetato0sinthetatan(7theta),
observamos que tan(7theta)=sin(7theta)/cos(7theta). Então
sinthetatan(7theta) =sintheta,cos(7theta)sin(7theta) simthetacdot17theta=17

Resposta

  1. 53
  2. 1pi
  3. 3
  4. 0
  5. 0
  6. 0
  7. 2
  8. 17

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