45-60 Encontre o limite.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular vários limites de funções trigonométricas quando o argumento tende a zero. O conteúdo fundamental que vamos usar é:
-
. -
. - As expansões de primeira ordem:
,
,
,
.
A partir disso, reescrevemos cada limite para usar esses resultados.
Passo 2
Para
escrevemos
e como
, o limite vale
Passo 3
Para
usamos aproximações lineares:
e
. Logo
Assim o limite é
.
Passo 4
Para
podemos escrever
e cada fração tende a 1, salvo o fator
. Portanto o limite é
Passo 5
Para
fatoramos
Como
, fica
. Logo o limite é 0.
Passo 6
Para
escrevemos
Como
e
, o limite é
.
Passo 7
Para
usamos
. Então
logo
Passo 8
Para
escrevemos
e como
, o resultado é
.
Passo 9
Para
observamos que
. Então