Utilizando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
integral x sec x tg x d x Resposta: x sec x-ln |sec x+tg x|+c

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integral x sec x tan x , dx
usando a técnica de integração por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções de modo a simplificar a integral restante:
u = x e dv = sec x tan x , dx

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dx,
e como
v = integral sec x tan x , dx,
sabemos que
integral sec x tan x , dx = sec x
Logo,
v = sec x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes,
integral x sec x tan x , dx = u,v - integral v,du = x sec x - integral sec x , dx

Passo 5

Agora falta calcular a integral de sec x. É um resultado padrão que
integral sec x , dx = lnl|sec x + tan xr| + C

Passo 6

Substituindo em (4), obtemos
integral x sec x tan x , dx = x sec x - lnl|sec x + tan xr| + C

Resposta

x sec x - lnl|sec x + tan xr| + C

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