45 Um arame de coeficiente de dilatação linear \alpha comprimento L é dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura. Se aumentarmos a temperatura em \Delta T, a abertura da circunferência aumentará, diminuirá ou ficará a mesma?

Passo 1

O enunciado nos dá: um arame de comprimento \,L, e coeficiente de dilatação linear \,\alpha, foi dobrado em forma de circunferência, mas ficou com uma abertura (ou seja, não está fechado). A temperatura é aumentada em \,\Delta T.\n\nA pergunta é: a abertura da circunferência (o “espaço” entre as extremidades do arame) vai aumentar, diminuir ou ficar igual quando a temperatura subir?
Informações relevantes que temos do enunciado:
\,\alpha — coeficiente de dilatação linear do material do arame;\n \,L — comprimento inicial do arame (antes de aquecer);\n \,\Delta T — aumento de temperatura;\n \,o arame está em forma de arco de circunferência (isto é, um arco circular que não chega a completar os 2\pi radianos, sobrando uma abertura).

Passo 2

Antes de partir para contas, preciso escolher um modelo físico simples e esclarecê-lo (não foi especificado no enunciado se o arame está preso a um quadro, se o centro da circunferência está fixo, etc.). Vou adotar o modelo mais direto e usual para esse tipo de questão de prova: suponho que o arame está ajustado sobre uma circunferência de raio fixo R (ou seja, o arco está “sobre” um círculo de determinado centro/raio) — só falta um pequeno trecho do círculo, a abertura. Essa é a suposição mais natural quando se diz “dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura”: o arame segue a forma do círculo já traçado. Vou explicar depois, brevemente, o que mudaria se a suposição fosse diferente.
Motivo da escolha: esse modelo usa apenas dilatação linear e geometria de arco (conceitos básicos exigidos na prova) e dá uma conclusão clara e intuitiva. É o caminho mais elementar e que o enunciado provavelmente espera.

Passo 3

Resumo da física básica que vamos usar (aula rápida): a dilatação linear diz que, se um corpo de comprimento inicial \,L, sofre um aumento de temperatura \,\Delta T, e tem coeficiente de dilatação linear \,\alpha, então o novo comprimento \,L', é dado por
L' = L\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui \,L e \,L' são comprimentos lineares do arame antes e depois do aquecimento; \alpha tem unidades de \text{K}^{-1} (ou ^\circC ^{-1}). Essa fórmula é direta: \Delta L=\alpha L\Delta T.

Passo 4

Agora a geometria do arco circular (aula rápida de geometria): se um arco de círculo tem raio \,R, e subtende um ângulo central \,\theta (em radianos), o comprimento do arco é
\text{(comprimento do arco)} = R\,\theta.
No nosso caso inicial isso vale com \theta = \theta_0 tal que
L = R\,\theta_0.
A abertura (o pedaço que falta para completar a circunferência) tem ângulo
\phi_0 = 2\pi - \theta_0.
Observe: estou medindo a “abertura” pelo ângulo que falta; isso é equivalente (monotonicamente) a medi-la pelo comprimento do trecho faltante, então decidir aumento/ diminuição é equivalente em qualquer uma dessas medidas.

Passo 5

Aumentando a temperatura, o arame cresce para
L' = L\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Se o arco continua ajustado sobre o mesmo círculo de raio R (nossa suposição), o novo ângulo subtendido \theta' satisfaz
\theta' = \frac{L'}{R} = \frac{L\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)}{R}.
Portanto a nova abertura (ângulo faltante) é
\varphi' = 2\pi - \theta' = 2\pi - \frac{L\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)}{R}.

Passo 6

Comparando a abertura antes e depois: como \alpha\,\Delta T>0 (aquecimento), temos L'>L, logo \theta'>\theta_0. Assim
\varphi' = 2\pi - \theta' < 2\pi - \theta_0 = \phi_0.
Conclusão lógica: a abertura diminui quando a temperatura aumenta.
Intuição simples: o arame ficou mais comprido, então, se ele está “encaixado” sobre o mesmo círculo, passa a cobrir uma parte angular maior desse círculo e, portanto, o trecho faltante (a abertura) fica menor — as extremidades aproximam-se.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha R=1 (unidade qualquer) e inicialmente o arame ocupa quase todo o círculo com comprimento L=2\pi-0{,}1. Então \theta_0=L/R=2\pi-0{,}1 e a abertura angular é \phi_0=0{,}1 rad. Se \alpha\,\Delta T=0{,}01, então L'=L(1{,}01) e \theta'=\theta_0(1{,}01)\approx 2\pi-0{,}1+0{,}01(2\pi-0{,}1), logo \varphi'=\phi_0- uma quantidade positiva; numericamente a abertura fica menor, como deduzido acima.

Passo 8

Observação sobre outras suposições: se o arame não estivesse preso a um círculo de raio fixo (por exemplo, se ele estivesse completamente livre e sem nenhuma restrição), a configuração de equilíbrio depende também da elasticidade do arame (bending stiffness) e de forças externas; em muitos casos reais um arame muito flexível tenderia a reduzir curvatura e até abrir-se (tender a uma linha reta), e a análise seria mais complexa. Mas, para o enunciado típico de prova em termodinâmica/ dilatação linear onde se diz “dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura”, a suposição de que ela está sobre um círculo de raio fixo é a interpretação padrão e a resposta obtida é a esperada.

Resposta

A abertura diminuirá.

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