45 Um arame de coeficiente de dilatação linear
comprimento
é dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura. Se aumentarmos a temperatura em
, a abertura da circunferência aumentará, diminuirá ou ficará a mesma?
Passo 1
O enunciado nos dá: um arame de comprimento
, e coeficiente de dilatação linear
, foi dobrado em forma de circunferência, mas ficou com uma abertura (ou seja, não está fechado). A temperatura é aumentada em
.\n\nA pergunta é: a abertura da circunferência (o “espaço” entre as extremidades do arame) vai aumentar, diminuir ou ficar igual quando a temperatura subir?
Informações relevantes que temos do enunciado:
— coeficiente de dilatação linear do material do arame;\n
— comprimento inicial do arame (antes de aquecer);\n
— aumento de temperatura;\n
o arame está em forma de arco de circunferência (isto é, um arco circular que não chega a completar os
radianos, sobrando uma abertura).
Passo 2
Antes de partir para contas, preciso escolher um modelo físico simples e esclarecê-lo (não foi especificado no enunciado se o arame está preso a um quadro, se o centro da circunferência está fixo, etc.). Vou adotar o modelo mais direto e usual para esse tipo de questão de prova: suponho que o arame está ajustado sobre uma circunferência de raio fixo
(ou seja, o arco está “sobre” um círculo de determinado centro/raio) — só falta um pequeno trecho do círculo, a abertura. Essa é a suposição mais natural quando se diz “dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura”: o arame segue a forma do círculo já traçado. Vou explicar depois, brevemente, o que mudaria se a suposição fosse diferente.
Motivo da escolha: esse modelo usa apenas dilatação linear e geometria de arco (conceitos básicos exigidos na prova) e dá uma conclusão clara e intuitiva. É o caminho mais elementar e que o enunciado provavelmente espera.
Passo 3
Resumo da física básica que vamos usar (aula rápida): a dilatação linear diz que, se um corpo de comprimento inicial
, sofre um aumento de temperatura
, e tem coeficiente de dilatação linear
, então o novo comprimento
, é dado por
Aqui
e
são comprimentos lineares do arame antes e depois do aquecimento;
tem unidades de
(ou
C
). Essa fórmula é direta:
.
Passo 4
Agora a geometria do arco circular (aula rápida de geometria): se um arco de círculo tem raio
, e subtende um ângulo central
(em radianos), o comprimento do arco é
No nosso caso inicial isso vale com
tal que
A abertura (o pedaço que falta para completar a circunferência) tem ângulo
Observe: estou medindo a “abertura” pelo ângulo que falta; isso é equivalente (monotonicamente) a medi-la pelo comprimento do trecho faltante, então decidir aumento/ diminuição é equivalente em qualquer uma dessas medidas.
Passo 5
Aumentando a temperatura, o arame cresce para
Se o arco continua ajustado sobre o mesmo círculo de raio
(nossa suposição), o novo ângulo subtendido
satisfaz
Portanto a nova abertura (ângulo faltante) é
Passo 6
Comparando a abertura antes e depois: como
(aquecimento), temos
, logo
. Assim
Conclusão lógica: a abertura diminui quando a temperatura aumenta.
Intuição simples: o arame ficou mais comprido, então, se ele está “encaixado” sobre o mesmo círculo, passa a cobrir uma parte angular maior desse círculo e, portanto, o trecho faltante (a abertura) fica menor — as extremidades aproximam-se.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
(unidade qualquer) e inicialmente o arame ocupa quase todo o círculo com comprimento
. Então
e a abertura angular é
rad. Se
, então
e
, logo
uma quantidade positiva; numericamente a abertura fica menor, como deduzido acima.
Passo 8
Observação sobre outras suposições: se o arame não estivesse preso a um círculo de raio fixo (por exemplo, se ele estivesse completamente livre e sem nenhuma restrição), a configuração de equilíbrio depende também da elasticidade do arame (bending stiffness) e de forças externas; em muitos casos reais um arame muito flexível tenderia a reduzir curvatura e até abrir-se (tender a uma linha reta), e a análise seria mais complexa. Mas, para o enunciado típico de prova em termodinâmica/ dilatação linear onde se diz “dobrada em forma de circunferência deixando uma abertura”, a suposição de que ela está sobre um círculo de raio fixo é a interpretação padrão e a resposta obtida é a esperada.
Resposta
A abertura diminuirá.