48 Um relógio de pêndulo simples é montado no pátio de um laboratório em Novosibirsk, na Sibéria, utilizando um fio de suspensão de coeficiente de dilatação 1.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. O pêndulo é calibrado para marcar a hora certa em um bonito dia de verão de 20^{\circ} \mathrm{C}. Em um dos menos agradáveis dias do inverno, com a temperatura a -40^{\circ} \mathrm{C}, o relógio:

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que acontece com o relógio no frio intenso. Dados:
\alpha = 1\cdot 10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} (coeficiente de dilatação linear do fio),
temperatura de calibração T_1 = 20^\circ\mathrm{C},
temperatura no dia de inverno T_2 = -40^\circ\mathrm{C}.
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_2 - T_1 = -40^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = -60^\circ\mathrm{C}.
O relógio foi calibrado para marcar a hora certa a 20^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: na temperatura -40^\circ\mathrm{C}, o relógio atrasa ou adianta, e por quanto (se for possível calcular)?

Passo 2

Lembrete físico básico: o período de um pêndulo simples (pequenas oscilações) é dado por
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde \,T é o período (tempo de uma oscilação), \,L é o comprimento do pêndulo (distância do ponto de suspensão ao centro de massa), e \,g é a aceleração da gravidade local. Aqui o que muda com a temperatura é L; g não muda de forma relevante com a temperatura ambiente.

Passo 3

Expansão térmica linear: quando a temperatura varia, o comprimento do fio muda segundo
L = L_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde L_0 é o comprimento à temperatura de calibração (aqui 20^\circ\mathrm{C}), \alpha é o coeficiente de dilatação linear e \Delta T é a variação de temperatura. Interpretação: se \Delta T é negativo, o fio fica mais curto; se positivo, fica mais longo.

Passo 4

Relação entre períodos antes e depois da mudança de comprimento: seja T_0 o período calibrado (em 20^\circ\mathrm{C}) e T' o período a -40^\circ\mathrm{C}. Então
T' = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_0(1+\alpha\Delta T)}{g}} = T_0\sqrt{1+\alpha\Delta T}.
A razão entre os períodos é
\frac{T'}{T_0}=\sqrt{1+\alpha\Delta T}.

Passo 5

Aproximação para pequenas variações: quando |\alpha\Delta T|\ll 1 podemos usar a aproximação de binômio para raiz quadrada:
\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para }|\varepsilon|\ll1.
Aqui \varepsilon=\alpha\Delta T. Isso facilita a conta e é perfeitamente válido porque \alpha\Delta T será muito pequeno.

Passo 6

Calculemos numericamente \alpha\Delta T:
\alpha\Delta T = \bigl(1\cdot 10^{-5}\bigr)\times(-60) = -6{,}0\cdot 10^{-4}.
Usando a aproximação,
\frac{T'-T_0}{T_0} \approx \frac{1}{2}\alpha\Delta T = \frac{1}{2}\bigl(-6{,}0\cdot 10^{-4}\bigr) = -3{,}0\cdot 10^{-4}.
Interpretação: o novo período T' é menor que T_0 por uma fração de aproximadamente 3{,}0\cdot 10^{-4}. Um período menor significa que cada oscilação demora menos tempo → o relógio “marca” os batimentos mais rapidamente → o relógio adianta.

Passo 7

Calcular quanto ele adianta por dia: em um dia verdadeiro há 24 horas =86400 segundos. A fração de adiantamento por segundo é 3{,}0\cdot 10^{-4}, logo o ganho de tempo por dia em segundos é
\Delta t_{\text{dia}} \approx 86400\times 3{,}0\cdot 10^{-4} = 25{,}92\\ \mathrm{s}.
Ou seja, o relógio adianta cerca de 25{,}9 segundos por dia (arredondando, aproximadamente 26 s/dia).

Passo 8

Resumo físico-intuitivo (para lembrar na prova): temperatura menor → fio encolhe → comprimento L menor → período T menor → oscilações mais rápidas → relógio adianta. A magnitude do efeito vem do fato de que a variação do período é metade da variação relativa do comprimento ( \Delta T/T \approx \tfrac{1}{2}\alpha\Delta T).

Resposta

O relógio adianta (funciona mais rápido).
Ganha cerca de 25{,}9\\ \mathrm{s} por dia (aproximadamente 26\\ \mathrm{s}/dia).

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