48 Um relógio de pêndulo simples é montado no pátio de um laboratório em Novosibirsk, na Sibéria, utilizando um fio de suspensão de coeficiente de dilatação
. O pêndulo é calibrado para marcar a hora certa em um bonito dia de verão de
. Em um dos menos agradáveis dias do inverno, com a temperatura a
, o relógio:
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que acontece com o relógio no frio intenso. Dados:
(coeficiente de dilatação linear do fio),
temperatura de calibração ,
temperatura no dia de inverno .
A diferença de temperatura é
temperatura de calibração
temperatura no dia de inverno
A diferença de temperatura é
O relógio foi calibrado para marcar a hora certa a
. A pergunta é: na temperatura
, o relógio atrasa ou adianta, e por quanto (se for possível calcular)?
Passo 2
Lembrete físico básico: o período de um pêndulo simples (pequenas oscilações) é dado por
onde
é o período (tempo de uma oscilação),
é o comprimento do pêndulo (distância do ponto de suspensão ao centro de massa), e
é a aceleração da gravidade local. Aqui o que muda com a temperatura é
;
não muda de forma relevante com a temperatura ambiente.
Passo 3
Expansão térmica linear: quando a temperatura varia, o comprimento do fio muda segundo
onde
é o comprimento à temperatura de calibração (aqui
),
é o coeficiente de dilatação linear e
é a variação de temperatura. Interpretação: se
é negativo, o fio fica mais curto; se positivo, fica mais longo.
Passo 4
Relação entre períodos antes e depois da mudança de comprimento: seja
o período calibrado (em
) e
o período a
. Então
A razão entre os períodos é
Passo 5
Aproximação para pequenas variações: quando
podemos usar a aproximação de binômio para raiz quadrada:
Aqui
. Isso facilita a conta e é perfeitamente válido porque
será muito pequeno.
Passo 6
Calculemos numericamente
:
Usando a aproximação,
Interpretação: o novo período
é menor que
por uma fração de aproximadamente
. Um período menor significa que cada oscilação demora menos tempo → o relógio “marca” os batimentos mais rapidamente → o relógio adianta.
Passo 7
Calcular quanto ele adianta por dia: em um dia verdadeiro há
horas
segundos. A fração de adiantamento por segundo é
, logo o ganho de tempo por dia em segundos é
Ou seja, o relógio adianta cerca de
segundos por dia (arredondando, aproximadamente
s/dia).
Passo 8
Resumo físico-intuitivo (para lembrar na prova): temperatura menor → fio encolhe → comprimento
menor → período
menor → oscilações mais rápidas → relógio adianta. A magnitude do efeito vem do fato de que a variação do período é metade da variação relativa do comprimento (
).
Resposta
O relógio adianta (funciona mais rápido).
Ganha cerca de por dia (aproximadamente
/dia).
Ganha cerca de