3.45 Calcule e compare as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC (cúbica de corpo centrado) e compará‑las. Informações relevantes fornecidas ou que vamos usar explicitamente:
  • Estrutura CCC (BCC): átomos nos 8 vértices do cubo e 1 átomo no centro do corpo da célula unidade.
  • Denotarei a aresta da célula unitária por a.
  • Podemos também relacionar a ao raio atômico R na CCC por 4R=\sqrt{3}\,a (se você quiser expressar densidades em função de R).
  • A densidade planar que queremos é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do reticulado do plano (contando frações de átomos que são compartilhados entre malhas do plano).

Passo 2

O que é “densidade planar” e como calcular sem erro:
  • Definição operacional: \displaystyle \text{densidade planar}=\frac{\text{número efetivo de átomos cujos centros estão no plano dentro de uma malha elementar}}{\text{área dessa malha elementar}}úáãá.
  • Regras práticas de contagem: se um centro atômico está no interior da malha, conta como 1; se está numa aresta/vertice da malha, conta como fração apropriada dependendo de quantas malhas do plano compartilham aquele ponto (numa malha 2D regular um vértice típico é compartilhado por 4 malhas, logo contribuição 1/4). Vou aplicar isso explicitamente para cada plano.
Agora vamos calcular passo a passo para cada plano.

Passo 3

Cálculo para o plano (100): identificação da malha e dos centros atômicos que pertencem ao plano.
  • Um plano (100) é paralelo às faces do cubo, sua malha elementar pode ser escolhida como a face do cubo com área \;a^2.
  • Dentro dessa malha (a face do cubo) os centros atômicos que estão no plano são exatamente os quatro vértices da face (coordenadas, por exemplo, (0,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(a,a,0) dependendo da face). O átomo do centro do corpo (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}) não pertence ao plano (100).
  • Cada vértice da face, visto na malha 2D, é compartilhado por quatro malhas adjacentes do mesmo plano, então cada vértice contribui com 1/4. Portanto o número efetivo de átomos por malha é
4 \times \frac{1}{4}=1.
  • Assim a densidade planar do plano (100) em função de a é
\text{PD}_{(100)}=\frac{1}{a^{2}}.
  • Se quisermos em função de R, usamos a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}. Substituindo:
\text{PD}_{(100)}=\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{\left(\dfrac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{2}} =\frac{1}{\dfrac{16R^{2}}{3}}=\frac{3}{16\,R^{2}}.

Passo 4

Cálculo para o plano (110): identificar a malha elementar (área) e contar centros atômicos.
  • A equação de um plano (110) com interceptos dá x/a+y/a+z/\infty=1, ou seja x+y=a. Esse plano é paralelo ao eixo z e atravessa diagonalmente o quadrado da base. Uma malha útil é o retângulo com vértices (a,0,0),(0,a,0),(a,0,a),(0,a,a). Os vetores geradores dessa malha podem ser escolhidos como
    \mathbf{v}_1=a(1,-1,0) (comprimento \sqrt{2}\,a) e \mathbf{v}_2=a(0,0,1) (comprimento a).
  • A área da malha é o produto dos comprimentos (vetores ortogonais aqui), logo
\text{área}_{(110)}=a\cdot\sqrt{2}\,a=a^{2}\sqrt{2}.á
  • Agora os centros atômicos que caem nesse retângulo: os quatro vértices do retângulo (por exemplo (a,0,0),(0,a,0),(a,0,a),(0,a,a)) e o átomo no centro do corpo \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right) que satisfaz x+y=a (porque \tfrac{a}{2}+\tfrac{a}{2}=a), ou seja o átomo do corpo está exatamente no plano e dentro da malha.
  • Contagem: os quatro vértices, em termos da malha 2D, são cada um compartilhado por 4 malhas, contribuindo 4\times\frac{1}{4}=1. O átomo do centro do corpo está no interior da malha e contribui com 1. Total de átomos efetivos por malha:
1+1=2.
  • Assim a densidade planar do plano (110) em função de a é
\text{PD}_{(110)}=\frac{2}{a^{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
  • Em função de R, substituindo a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}:
\text{PD}_{(110)}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{2}} =\sqrt{2}\cdot\frac{3}{16\,R^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{16\,R^{2}}.

Passo 5

Comparação numérica e interpretação final:
  • Em função de a:
\text{PD}_{(100)}=\frac{1}{a^{2}},\qquad \text{PD}_{(110)}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
  • A razão entre elas é
\frac{\text{PD}_{(110)}}{\text{PD}_{(100)}}=\sqrt{2}\approx 1{,}414.
Isto significa que o plano (110) é \sqrt{2} vezes mais denso (em número de centros atômicos por área) do que o plano (100) na CCC.
  • Em função de R:
\text{PD}_{(100)}=\frac{3}{16\,R^{2}},\qquad \text{PD}_{(110)}=\frac{3\sqrt{2}}{16\,R^{2}}.

Resposta

\text{PD}_{(100)}=\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{3}{16\,R^{2}}
\text{PD}_{(110)}=\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{16\,R^{2}}
Comparação: \dfrac{\text{PD}_{(110)}}{\text{PD}_{(100)}}=\sqrt{2}\\ (\approx1{,}414), ou seja, (110) é \sqrt{2} vezes mais denso que (100).

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