3.45 Calcule e compare as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular as densidades planares dos planos
e
para a estrutura cristalina CCC (cúbica de corpo centrado) e compará‑las. Informações relevantes fornecidas ou que vamos usar explicitamente:
- Estrutura CCC (BCC): átomos nos 8 vértices do cubo e 1 átomo no centro do corpo da célula unidade.
- Denotarei a aresta da célula unitária por
. - Podemos também relacionar
ao raio atômico na CCC por (se você quiser expressar densidades em função de ). - A densidade planar que queremos é o número de centros atômicos que pertencem ao plano por unidade de área do reticulado do plano (contando frações de átomos que são compartilhados entre malhas do plano).
Passo 2
O que é “densidade planar” e como calcular sem erro:
- Definição operacional:
. - Regras práticas de contagem: se um centro atômico está no interior da malha, conta como
; se está numa aresta/vertice da malha, conta como fração apropriada dependendo de quantas malhas do plano compartilham aquele ponto (numa malha 2D regular um vértice típico é compartilhado por 4 malhas, logo contribuição ). Vou aplicar isso explicitamente para cada plano.
Agora vamos calcular passo a passo para cada plano.
Passo 3
Cálculo para o plano
: identificação da malha e dos centros atômicos que pertencem ao plano.
- Um plano
é paralelo às faces do cubo, sua malha elementar pode ser escolhida como a face do cubo com área . - Dentro dessa malha (a face do cubo) os centros atômicos que estão no plano são exatamente os quatro vértices da face (coordenadas, por exemplo,
dependendo da face). O átomo do centro do corpo não pertence ao plano . - Cada vértice da face, visto na malha 2D, é compartilhado por quatro malhas adjacentes do mesmo plano, então cada vértice contribui com
. Portanto o número efetivo de átomos por malha é
- Assim a densidade planar do plano
em função de é
- Se quisermos em função de
, usamos . Substituindo:
Passo 4
Cálculo para o plano
: identificar a malha elementar (área) e contar centros atômicos.
- A equação de um plano
com interceptos dá , ou seja . Esse plano é paralelo ao eixo e atravessa diagonalmente o quadrado da base. Uma malha útil é o retângulo com vértices . Os vetores geradores dessa malha podem ser escolhidos como
(comprimento ) e (comprimento ). - A área da malha é o produto dos comprimentos (vetores ortogonais aqui), logo
- Agora os centros atômicos que caem nesse retângulo: os quatro vértices do retângulo (por exemplo
) e o átomo no centro do corpo que satisfaz (porque ), ou seja o átomo do corpo está exatamente no plano e dentro da malha. - Contagem: os quatro vértices, em termos da malha 2D, são cada um compartilhado por 4 malhas, contribuindo
. O átomo do centro do corpo está no interior da malha e contribui com . Total de átomos efetivos por malha:
- Assim a densidade planar do plano
em função de é
- Em função de
, substituindo :
Passo 5
Comparação numérica e interpretação final:
- Em função de
:
- A razão entre elas é
Isto significa que o plano
é
vezes mais denso (em número de centros atômicos por área) do que o plano
na CCC.
- Em função de
:
Resposta
Comparação: