45{ }^{\circ} \mathrm{Um} laser Nd:YAG utilizado em cirurgias oftalmológicas emite um pulso de 3,00 \mathrm{~mJ} em 1,00 \mathrm{~ns}, focalizado em uma mancha de 30,0 \mu \mathrm{~m} de diâmetro na retina. (a) Encontre (em unidades SI) a potência por unidade de área na retina. (Essa grandeza é chamada de irradiância.) (b) Qual energia é fornecida a uma área de tamanho molecular, considerada como uma área circular com 0,600 \mathrm{~nm} de diâmetro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado).
O enunciado pede:
  • (a) A irradiância na retina, ou seja, a potência por unidade de área (em unidades SI).
  • (b) A energia fornecida a uma área de tamanho molecular, tomada como círculo de diâmetro 0,600\\ \mathrm{nm}.
Dados fornecidos:
  • Energia do pulso: E_{\rm pulso}=3,00\times10^{-3}\\ \mathrm{J} (pois 3{,}00\\ \mathrm{mJ}=3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{J}).
  • Duração do pulso: \Delta t=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{s} (pois 1{,}00\\ \mathrm{ns}=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{s}).
  • Diâmetro do ponto focal na retina: D_{\rm spot}=30{,}0\\ \mu\mathrm{m}=30{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da área molecular: D_{\rm mol}=0{,}600\\ \mathrm{nm}=0{,}600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Converter e preparar os valores (detalhando como fazer conversões de unidades, passo a passo).
  • Converter 3{,}00\\ \mathrm{mJ} para joules:
E_{\rm pulso}=3{,}00\\ \mathrm{mJ}=3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
  • Converter 1{,}00\\ \mathrm{ns} para segundos:
\Delta t=1{,}00\\ \mathrm{ns}=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
  • Converter o diâmetro do ponto focal 30{,}0\\ \mu\mathrm{m} para metros:
D_{\rm spot}=30{,}0\\ \mu\mathrm{m}=30{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Converter o diâmetro molecular 0{,}600\\ \mathrm{nm} para metros:
D_{\rm mol}=0{,}600\\ \mathrm{nm}=0{,}600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Repare: para passar de \mu\mathrm{m} para \mathrm{m} multiplica por 10^{-6}; para \mathrm{nm} multiplica por 10^{-9}. Sempre útil checar essas potências de dez.

Passo 3

Definir irradiância e calcular a potência do pulso (aula curtinha sobre o que usar).
  • Irradiância I é a potência por unidade de área, isto é:
I=\frac{P}{A},
onde P é a potência instantânea (em watts) e A é a área (em metros quadrados).
  • Para um pulso curto, a potência média durante o pulso pode ser obtida dividindo a energia do pulso pelo tempo do pulso:
P=\frac{E_{\rm pulso}}{\Delta t}.
Isso dá a potência efetiva enquanto o pulso está “ligado”. Vamos calcular P.
Calcule:
P=\frac{3{,}00\times10^{-3}}{1{,}00\times10^{-9}}=3{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: durante o nanosegundo do pulso a potência é 3{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{W} (3,00 MW).

Passo 4

Calcular a área do ponto focal (aula sobre área de círculo e aplicação com as conversões).
  • Para um ponto focal circular, a área é
A_{\rm spot}=\pi r_{\rm spot}^{2},
onde r_{\rm spot}=D_{\rm spot}/2.
  • Calcular o raio:
r_{\rm spot}=\frac{30{,}0\times10^{-6}}{2}=15{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a área:
A_{\rm spot}=\pi\,(15{,}0\times10^{-6})^{2}=\pi\cdot225{,}0\times10^{-12}=225{,}0\pi\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{2}}.
Numericamente (truncando/arreondando a três algarismos significativos):
A_{\rm spot}\approx7{,}07\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicando o cálculo numérico: 225{,}0\pi\approx706{,}858 e multiplicando por 10^{-12} 7{,}06858\times10^{-10}, que escrevemos como 7{,}07\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}} (3 alg. sig.).

Passo 5

Calcular a irradiância na retina usando I=P/A e explicar as unidades.
  • Aplicar a fórmula:
I=\frac{P}{A_{\rm spot}}=\frac{3{,}00\times10^{6}}{7{,}07\times10^{-10}}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Fazer a divisão (mostrando raciocínio de ordem de grandeza):
I\approx4{,}24\times10^{15}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Verificação rápida: potência muito alta num spot muito pequeno => irradiância enorme, ordem de 10^{15}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}. Mantivemos 3 algarismos significativos conforme os dados.

Passo 6

Estratégia para (b): como calcular a energia recebida por uma pequena área circular (explicação conceitual).
Duas maneiras equivalentes:
  • (i) Calcular a energia que cai na pequena área como E_{\rm pequena}=I\cdot A_{\rm pequena}\cdot\Delta t, já que I é potência por área, multiplicando por área dá potência naquela região, e multiplicando por \Delta t dá energia.
  • (ii) Ou ver que a energia se distribui proporcionalmente à área: E_{\rm pequena}=E_{\rm pulso}\times\frac{A_{\rm pequena}}{A_{\rm spot}}. Vou usar a segunda forma (é mais direta) e mostrarei equivalência com a primeira.

Passo 7

Calcular a área molecular e a energia recebida (contas passo a passo).
  • Primeiro a área da área molecular (círculo de diâmetro D_{\rm mol}=0{,}600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}):
r_{\rm mol}=\frac{D_{\rm mol}}{2}=0{,}300\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
A_{\rm mol}=\pi r_{\rm mol}^{2}=\pi\,(3{,}00\times10^{-10})^{2}=\pi\cdot9{,}00\times10^{-20}=9{,}00\pi\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
Numericamente:
A_{\rm mol}\approx2{,}83\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular a fração da energia total que incide nessa área:
\frac{A_{\rm mol}}{A_{\rm spot}}=\frac{2{,}827\times10^{-19}}{7{,}068\times10^{-10}}\approx4{,}00\times10^{-10}.
(esse número é pequeno, ~ 4{,}00\times10^{-10}, ou seja, a área molecular é uma fração extremamente pequena do spot).
  • Energia recebida pela área molecular (usando proporção):
E_{\rm mol}=E_{\rm pulso}\times\frac{A_{\rm mol}}{A_{\rm spot}}=3{,}00\times10^{-3}\times4{,}00\times10^{-10}=1{,}20\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
  • Checagem pela outra forma ( E=I\cdot A_{\rm mol}\cdot\Delta t):
E= (4{,}24\times10^{15})\times(2{,}83\times10^{-19})\times(1{,}00\times10^{-9}) \approx1{,}20\times10^{-12}\\ \mathrm{J},
mesmo resultado (ufa, consistência!).

Passo 8

Resumo interpretativo e incentivo (curta aula sobre ordens de grandeza).
  • Resultado físico: a irradiância é enorme (ordem 10^{15}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}), e a energia que atinge uma área molecular é muito pequena em termos absolutos ( 10^{-12}\\ \mathrm{J}), mas suficiente para interações em escala microscópica dependendo do processo (fotobiologia, aquecimento local etc.).
  • Você está indo bem; esses problemas pedem atenção com conversões de unidades e com a escolha entre potência e energia — duas quantidades diferentes mas relacionadas.

Resposta

(a) I\approx4{,}24\times10^{15}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
(b) E_{\rm mol}\approx1{,}20\times10^{-12}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados