-45 Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 75,0 cm apresenta frequências de ressonância de 420 e 315 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre os dois valores. Determine (a) a menor frequência de ressonância e (b) a velocidade da onda.
  • 46 A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L. A corda B, com a mesma massa específica linear e a mesma tração que a corda A, está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância igual a 4 L. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B. Para quais dos oito harmônicos de B a frequência coincide com a frequência (a) do primeiro harmônico de A, (b) do segundo harmônico de A e © do terceiro harmônico de A ?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos dois probleminhas sobre cordas vibrantes:
  1. Uma corda de comprimento L=0,750,m (75,0 cm) apresenta duas frequências de ressonância em 315 Hz e 420 Hz, sem nenhuma entre elas. Precisamos achar (a) a menor frequência de ressonância (ou seja, o 1.º harmônico) e (b) a velocidade de propagação da onda nessa corda.
  2. Duas cordas A e B têm mesma densidade linear e mesma tensão, mas A tem comprimento L e B tem comprimento 4L. Queremos ver, entre os primeiros oito harmônicos de B, quais coincidem com o 1.º, 2.º e 3.º harmônicos de A.
O que vamos usar: teoria de ondas estacionárias em cordas fixas nas duas pontas, onde as frequências de ressonância (harmônicos) são dadas por
fn = n,v2L,, n=1,2,3,dots
e o espaçamento entre harmônicos consecutivos é sempre o fundamental f1.

Passo 2

Teoria das ondas estacionárias
Quando uma corda fixa nas duas pontas vibra, formam-se modos estacionários. O modo n (n-ésimo harmônico) tem frequência
fn = n,f1com f1=v2L,
Isso significa que as diferenças entre frequências consecutivas valem sempre f1.

Passo 3

Resolução do problema 45 – encontrar f1
Como não há nenhuma ressonância entre 315 Hz e 420 Hz, esses dois valores são harmônicos consecutivos, fn e fn+1. A diferença entre eles é:
fn+1-fn=f1 Longrightarrow f1 = 420 - 315 = 105 Hz
Logo, a menor frequência de ressonância (1.º harmônico) é
boxedf1 = 105 Hz

Passo 4

Calcular a velocidade da onda na corda (problema 45b)
Sabendo que f1 = v/(2L), basta isolar v:
v = 2L,f1 = 2times 0,750,mtimes 105,Hz = 157,5 m/s

Passo 5

Resolução do problema 46 – relação entre harmônicos de A e B
Para a corda A (comprimento L):
fA,k = k,v2L,, k=1,2,3,
Para a corda B (comprimento 4L):
fB,m = m,v2,(4L) = m,v8L = m4,v2L = m4,fA,1,

Passo 6

Encontrar quais m (de 1 a 8) fazem fB,m coincidir com fA,1, fA,2 e fA,3
(a) Pra bater com fA,1, quero dfracm4,fA,1 = 1,fA,1 ;Longrightarrow; m=4.
(b) Pra bater com fA,2=2,fA,1, preciso dfracm4=2 ;Longrightarrow; m=8.
© Pra bater com fA,3=3,fA,1, seria dfracm4=3 ;Longrightarrow; m=12, mas isso está fora dos oito primeiros harmônicos de B.

Resposta

45(a) A menor frequência de ressonância é f1=105,Hz
45(b) A velocidade da onda é v=157,5,m/s
46(a) 4.º harmônico de B
46(b) 8.º harmônico de B
46© Nenhum dos oito primeiros harmônicos de B coincide com o 3.º harmônico de A.

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