1. 6-30. Use a lei de conservação da energia para obter uma expressão relacionando \left\langle x^{2}\right\rangle e \left\langle p^{2}\right\rangle no caso do oscilador harmônico. Em seguida, sabendo que a energia cinética média é igual à energia potencial média ( \langle K\rangle=\langle V\rangle ) para o oscilador harmônico, use esta expressão para calcular o valor de \left\langle p^{2}\right\rangle para o estado fundamental.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Usar a conservação da energia para obter uma expressão que relacione \langle x^{2}\rangle e \langle p^{2}\rangle para o oscilador harmônico.
  • Sabendo que \langle K\rangle=\langle V\rangle para o oscilador harmônico, usar isso para calcular \langle p^{2}\rangle no estado fundamental.
Informações e fórmulas relevantes fornecidas ou necessárias (estas são as peças que temos para trabalhar):
  • A forma do Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é
H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2},
onde \,m é a massa, \omega é a frequência angular, p é o operador momento e x é o operador posição.
  • Para um estado (autoestado de energia, por exemplo) define-se o valor esperado (expectation) de um operador A como \langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
  • O enunciado diz que, para o oscilador harmônico, \langle K\rangle=\langle V\rangle, isto é, a energia cinética média é igual à energia potencial média.
  • Os níveis de energia do oscilador harmônico são
E_{n}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right).
Em particular, para o estado fundamental ( n=0) temos E_{0}=\tfrac{1}{2}\hbar\omega.
A resolução real começa no próximo passo, usando essas informações para obter a relação pedida e calcular \langle p^{2}\rangle no estado fundamental.

Passo 2

Escrevendo a esperança (valor médio) do Hamiltoniano usando os termos cinético e potencial:
\langle H\rangle=\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle x^{2}\rangle.
Explicando: \langle p^{2}\rangle significa \langle\psi|p^{2}|\psi\rangle e \langle x^{2}\rangle significa \langle\psi|x^{2}|\psi\rangle. Essa expressão é só a média da soma (a esperança de uma soma é a soma das esperanças).

Passo 3

A expressão do Passo 2 é a forma geral da conservação da energia na média: a energia média é a soma da energia cinética média e da energia potencial média. Agora usamos a condição dada \langle K\rangle=\langle V\rangle. Escrevendo explicitamente:
\langle K\rangle=\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m},\qquad \langle V\rangle=\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle x^{2}\rangle.
Igualando-as:
\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}=\frac{1}{2}m\omega^{2}\langle x^{2}\rangle.

Passo 4

Agora resolvemos a igualdade do Passo 3 para relacionar \langle p^{2}\rangle e \langle x^{2}\rangle. Multiplicando ambos os lados por 2m obtemos:
\langle p^{2}\rangle = m^{2}\omega^{2}\langle x^{2}\rangle.
Esta é a expressão solicitada que relaciona \langle x^{2}\rangle e \langle p^{2}\rangle para o oscilador harmônico.

Passo 5

Para determinar \langle p^{2}\rangle no estado fundamental, usamos também a relação entre energia total média e as parcelas. Como \langle K\rangle=\langle V\rangle, a energia média total é
\langle H\rangle = \langle K\rangle + \langle V\rangle = 2\langle K\rangle.
Logo
\langle K\rangle = \frac{\langle H\rangle}{2}.
Mas para um autoestado de energia (como o estado fundamental) \langle H\rangle é simplesmente a energia do estado, isto é E_{0} para o fundamental. Portanto
\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}=\frac{E_{0}}{2}.
Multiplicando por 2m
\langle p^{2}\rangle = m E_{0}.

Passo 6

Usamos o valor da energia do estado fundamental:
E_{0}=\frac{1}{2}\hbar\omega.
Substituindo em \langle p^{2}\rangle = m E_{0} obtemos
\langle p^{2}\rangle = m\left(\frac{1}{2}\hbar\omega\right)=\frac{1}{2}m\hbar\omega.
(Se quiser, a partir da relação do Passo 4 pode-se também obter \langle x^{2}\rangle=\dfrac{\hbar}{2m\omega}.)

Resposta

\langle p^{2}\rangle=\dfrac{1}{2}\,m\hbar\omega

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