- 6-30. Use a lei de conservação da energia para obter uma expressão relacionando
e
no caso do oscilador harmônico. Em seguida, sabendo que a energia cinética média é igual à energia potencial média (
) para o oscilador harmônico, use esta expressão para calcular o valor de
para o estado fundamental.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Usar a conservação da energia para obter uma expressão que relacione
e para o oscilador harmônico. - Sabendo que
para o oscilador harmônico, usar isso para calcular no estado fundamental.
Informações e fórmulas relevantes fornecidas ou necessárias (estas são as peças que temos para trabalhar):
- A forma do Hamiltoniano do oscilador harmônico unidimensional é
onde
é a massa,
é a frequência angular,
é o operador momento e
é o operador posição.
- Para um estado (autoestado de energia, por exemplo) define-se o valor esperado (expectation) de um operador
como . - O enunciado diz que, para o oscilador harmônico,
, isto é, a energia cinética média é igual à energia potencial média. - Os níveis de energia do oscilador harmônico são
Em particular, para o estado fundamental (
) temos
.
A resolução real começa no próximo passo, usando essas informações para obter a relação pedida e calcular
no estado fundamental.
Passo 2
Escrevendo a esperança (valor médio) do Hamiltoniano usando os termos cinético e potencial:
Explicando:
significa
e
significa
. Essa expressão é só a média da soma (a esperança de uma soma é a soma das esperanças).
Passo 3
A expressão do Passo 2 é a forma geral da conservação da energia na média: a energia média é a soma da energia cinética média e da energia potencial média. Agora usamos a condição dada
. Escrevendo explicitamente:
Igualando-as:
Passo 4
Agora resolvemos a igualdade do Passo 3 para relacionar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Esta é a expressão solicitada que relaciona
e
para o oscilador harmônico.
Passo 5
Para determinar
no estado fundamental, usamos também a relação entre energia total média e as parcelas. Como
, a energia média total é
Logo
Mas para um autoestado de energia (como o estado fundamental)
é simplesmente a energia do estado, isto é
para o fundamental. Portanto
Multiplicando por
dá
Passo 6
Usamos o valor da energia do estado fundamental:
Substituindo em
obtemos
(Se quiser, a partir da relação do Passo 4 pode-se também obter
.)