Inicialmente, de Broglie aplicou a Equação 5-2 aos fótons, imaginando que tivessem uma massa pequena mas diferente de zero. Ele supôs que as ondas de radiofrequência, \operatorname{com} \lambda=30 \mathrm{~m}, viajavam com uma velocidade igual a pelo menos 99 \% da velocidade da luz visível, para a qual \lambda=500 \mathrm{~nm}. Partindo da expressão relativística h f=\gamma m c^{2}, verifique a conclusão de que o limite superior para a massa de repouso do fóton é 10^{-44} \mathrm{~g}. (Encontre v / c em função de h f e m c^{2} supondo m c^{2} \ll h f ).

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Enunciado: partir da expressão relativística \,h f=\gamma m c^{2}\, e (a) encontrar \,v/c\, em função de \,h f\, e \,m c^{2}\, supondo \,m c^{2}\ll h f; (b) usar a hipótese de de Broglie (ondas de rádio com \lambda=30\\ \mathrm{m} viajam com velocidade pelo menos 99\% da velocidade da luz visível, para a qual \lambda=500\\ \mathrm{nm}) para obter um limite superior para a massa de repouso do fóton e verificar a conclusão citada ( 10^{-44}\\ \mathrm{g}).
  • Dados relevantes que vamos usar:
    • Relação dada: \,h f=\gamma m c^{2}\,.
    • Definição da fator de Lorentz: \,\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} com \beta\equiv v/c.
    • Velocidades/condição: velocidade das ondas de rádio (freq. \,f_r=c/\lambda_r com \lambda_r=30\\ \mathrm{m}) é pelo menos 99\% da velocidade da luz visível (freq. \,f_v=c/\lambda_v com \lambda_v=500\\ \mathrm{nm}). Em fórmula: \beta_r \ge 0,99\,\beta_v.
    • Constantes numéricas que usarei para cálculo aproximado:
      • h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
      • c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
      • Converter massa final para gramas: 1\\ \mathrm{kg}=10^{3}\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Expressar \beta=v/c em termos de h f e m c^{2} a partir de \,h f=\gamma m c^{2}\,.
Começamos escrevendo \gamma em função de \beta:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.
Pela equação dada,
h f=\gamma m c^{2}=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.
Isolando a raiz:
\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{m c^{2}}{h f}.
Elevando ao quadrado e isolando \beta obtemos a forma exata:
1-\beta^{2}=\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2} \qquad\Rightarrow\qquad \beta=\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}}.

Passo 3

Aproximação para \,m c^{2}\ll h f.
Defina \varepsilon=\left(\dfrac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}. A hipótese \,m c^{2}\ll h f implica \varepsilon\ll1. Para \varepsilon\ll1 usamos a expansão binomial
\sqrt{1-\varepsilon}\approx 1-\frac{\varepsilon}{2} \quad(\text{para }\varepsilon\ll1).
Aplicando ao caso:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}} \approx 1-\frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}.
Esta é a expressão aproximada pedida: \,v/c em função de h f e m c^{2} quando m c^{2}\ll h f. Intuição: quanto maior a energia h f em comparação com m c^{2}, mais v se aproxima de c; o desvio de c é da ordem de \left(mc^{2}/hf\right)^{2}.

Passo 4

Traduzir a condição experimental de de Broglie em inequação prática.
De Broglie supõe que as ondas de rádio ( \lambda_{r}=30\\ \mathrm{m}, frequência f_{r}=c/\lambda_{r}) viajam com velocidade pelo menos 99\% da velocidade das ondas visíveis ( \lambda_{v}=500\\ \mathrm{nm}, frequência f_{v}=c/\lambda_{v}). Ou seja:
\beta_{r}\ge 0{,}99\,\beta_{v}.
Como a frequência da luz visível é muito maior que a da rádio ( f_v\gg f_r), para um fóton com massa tão pequena esperamos \beta_{v} extremamente perto de 1; portanto é razoável aproximar \beta_{v}\approx 1 ao obter um limite conservador para a massa. Com essa aproximação a condição torna-se
\beta_{r}\ge 0{,}99.
Usamos então a expressão aproximada do passo anterior para \beta_{r}:
1-\frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f_{r}}\right)^{2}\ge 0{,}99.

Passo 5

Resolver a desigualdade para obter o limite em m.
Da desigualdade do passo anterior:
1-\frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f_{r}}\right)^{2}\ge 0{,}99
subtrai-se 0{,}99 de ambos os lados:
0{,}01 \ge \frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f_{r}}\right)^{2}.
Isolando m:
\left(\frac{m c^{2}}{h f_{r}}\right)^{2}\le 0{,}02 \qquad\Rightarrow\qquad m\le \frac{h f_{r}}{c^{2}}\sqrt{0{,}02}.
Como f_{r}=c/\lambda_{r}, isto é equivalente a
m\le \frac{h}{\lambda_{r} c}\sqrt{0{,}02}.

Passo 6

Avaliação numérica passo a passo.
Primeiro calcule h/(\lambda_{r} c) com \lambda_{r}=30\\ \mathrm{m}:
\frac{h}{\lambda_{r} c}=\frac{6{,}626\times10^{-34}}{30\times 3{,}00\times10^{8}} =\frac{6{,}626\times10^{-34}}{9{,}00\times10^{9}} \approx 7{,}36\times10^{-44}\\ \mathrm{kg}.
Agora multiplica pela raiz:
\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141067\ldots
Portanto
m\lesssim 7{,}36\times10^{-44}\times 0{,}14107 \approx 1{,}04\times10^{-44}\\ \mathrm{kg}.
Converter para gramas ( 1\\ \mathrm{kg}=10^{3}\\ \mathrm{g}):
m\lesssim 1{,}04\times10^{-41}\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Interpretação do resultado e comparação com a afirmação de de Broglie.
  • A expressão aproximada pedida é
\boxed{\displaystyle \frac{v}{c}\approx 1-\frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}} \quad\text{(válida quando }m c^{2}\ll h f\text{).}á
  • Aplicando a hipótese numérica ( \lambda_{r}=30\\ \mathrm{m}, v_{r}\ge0{,}99) obtivemos o limite numérico
m\lesssim 1{,}0\times10^{-41}\\ \mathrm{g}.
Isto difere da cifra 10^{-44}\\ \mathrm{g} citada no enunciado por cerca de três ordens de magnitude. Possíveis razões para a diferença: escolhas numéricas (valor de c e h), interpretação exacta da condição \beta_{r}\ge0{,}99\beta_{v} sem aproximar \beta_{v}\approx1, ou uso de outro comprimento de onda/observação histórica por de Broglie. Mas com os dados fornecidos aqui ( \lambda_{r}=30\\ \mathrm{m}, \lambda_{v}=500\\ \mathrm{nm} e a aproximação usada) o limite que se obtém é da ordem de 10^{-41}\\ \mathrm{g}.

Resposta

\displaystyle \frac{v}{c}\approx 1-\frac{1}{2}\left(\frac{m c^{2}}{h f}\right)^{2}.
m\lesssim 1{,}0\times10^{-41}\\ \mathrm{g}.

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