Inicialmente, de Broglie aplicou a Equação 5-2 aos fótons, imaginando que tivessem uma massa pequena mas diferente de zero. Ele supôs que as ondas de radiofrequência,
, viajavam com uma velocidade igual a pelo menos
da velocidade da luz visível, para a qual
. Partindo da expressão relativística
, verifique a conclusão de que o limite superior para a massa de repouso do fóton é
. (Encontre
em função de
e
supondo
).
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
-
Enunciado: partir da expressão relativística
e (a) encontrar em função de e supondo ; (b) usar a hipótese de de Broglie (ondas de rádio com viajam com velocidade pelo menos da velocidade da luz visível, para a qual ) para obter um limite superior para a massa de repouso do fóton e verificar a conclusão citada ( ). -
Dados relevantes que vamos usar:
- Relação dada:
. - Definição da fator de Lorentz:
com . - Velocidades/condição: velocidade das ondas de rádio (freq.
com ) é pelo menos da velocidade da luz visível (freq. com ). Em fórmula: . - Constantes numéricas que usarei para cálculo aproximado:
-
. -
. - Converter massa final para gramas:
.
-
- Relação dada:
Passo 2
Expressar
em termos de
e
a partir de
.
Começamos escrevendo
em função de
:
Pela equação dada,
Isolando a raiz:
Elevando ao quadrado e isolando
obtemos a forma exata:
Passo 3
Aproximação para
.
Defina
. A hipótese
implica
. Para
usamos a expansão binomial
Aplicando ao caso:
Esta é a expressão aproximada pedida:
em função de
e
quando
. Intuição: quanto maior a energia
em comparação com
, mais
se aproxima de
; o desvio de
é da ordem de
.
Passo 4
Traduzir a condição experimental de de Broglie em inequação prática.
De Broglie supõe que as ondas de rádio (
, frequência
) viajam com velocidade pelo menos
da velocidade das ondas visíveis (
, frequência
). Ou seja:
Como a frequência da luz visível é muito maior que a da rádio (
), para um fóton com massa tão pequena esperamos
extremamente perto de
; portanto é razoável aproximar
ao obter um limite conservador para a massa. Com essa aproximação a condição torna-se
Usamos então a expressão aproximada do passo anterior para
:
Passo 5
Resolver a desigualdade para obter o limite em
.
Da desigualdade do passo anterior:
subtrai-se
de ambos os lados:
Isolando
:
Como
, isto é equivalente a
Passo 6
Avaliação numérica passo a passo.
Primeiro calcule
com
:
Agora multiplica pela raiz:
Portanto
Converter para gramas (
):
Passo 7
Interpretação do resultado e comparação com a afirmação de de Broglie.
- A expressão aproximada pedida é
- Aplicando a hipótese numérica (
, ) obtivemos o limite numérico
Isto difere da cifra
citada no enunciado por cerca de três ordens de magnitude. Possíveis razões para a diferença: escolhas numéricas (valor de
e
), interpretação exacta da condição
sem aproximar
, ou uso de outro comprimento de onda/observação histórica por de Broglie. Mas com os dados fornecidos aqui (
,
e a aproximação usada) o limite que se obtém é da ordem de
.