3.57 A superficie interna de uma parede de tijolos com espessura L=10 \mathrm{~cm}\left[k_{1}=1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right] está a uma temperatura T_{i}=930 \mathrm{C}, e a superfície externa está exposta a um ambiente a T_{*}=30{ }^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferència de calor h_{0}=20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{C}\right).
(a) Qual é a temperatura da superfície externa?
(b) Calcule a espessura da camada do isolamento \left[k=0,1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{-} \mathrm{C}\right)\right. necessário, na superficie externa, para que a superfície da camada de isolante exposta ao ar nunca passe de 90^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes números do enunciado):
  • Espessura da parede de tijolo: L=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tijolo: k_{1}=1\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Temperatura da superfície interna (lado quente): T_{i}=930^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente externo: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção do ar na superfície externa: h_{0}=20\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot^\circ C)}.
Perguntas:
(a) Qual é a temperatura da superfície externa do tijolo (antes de qualquer isolamento)?
(b) Qual a espessura L_{2} de uma camada de isolamento com k_{2}=0,1\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}, aplicada sobre a superfície externa, necessária para que a superfície exposta ao ar não passe de 90^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Em regime estacionário unidimensional, as resistências térmicas em série somam. Para área unitária ( A=1\\ \mathrm{m^2}):
    • Resistência por condução através de uma camada de espessura L e condutividade k:
    R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}\quad\text{(unidade: \(\mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}\) por área unitária)}ááAqui L é a espessura em metros e k é a condutividade em \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
    • Resistência por convecção na superfície com coeficiente h:
    R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}\quad\text{(unidade: \(\mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}\) por área unitária)}ááAqui h é em \mathrm{W/(m^{2}\cdot^\circ C)}.
  • Fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) é dado por: \dot q''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}onde \Delta T é a diferença de temperatura entre as extremidades e R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas em série (todas por área unitária).
  • Temperatura em qualquer ponto entre as resistências pode ser obtida somando quedas de temperatura: por exemplo, a temperatura na superfície externa do tijolo (antes do isolante) será T_{s,\text{tijolo}}=T_{i}-\dot q''\,R_{\text{cond,tijolo}}ou equivalentemente T_{s,\text{tijolo}}=T_{\infty}+\dot q''\,R_{\text{conv}}.
Essas fórmulas permitem montar equações e calcular temperaturas e espessuras.

Passo 3

Resolução da parte (a) — temperatura da superfície externa do tijolo (sem isolamento).
  1. Calcular as resistências por área unitária: R_{\text{cond,tijolo}}=\frac{L}{k_{1}}=\frac{0,10}{1}=0,10\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{0}}=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  1. Resistência total: R_{\text{total}}=R_{\text{cond,tijolo}}+R_{\text{conv}}=0,10+0,05=0,15\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  2. Fluxo de calor por unidade de área: \dot q''=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{R_{\text{total}}}=\frac{930-30}{0,15}=\frac{900}{0,15}=6000\\ \mathrm{W/m^{2}}.Interpretação rápida: por cada metro quadrado que atravessa a parede sai 6000\\ \mathrm{W} — número alto porque a diferença de temperatura é grande e a resistência é pequena.
  3. Temperatura da superfície externa do tijolo: T_{s,\text{tijolo}}=T_{i}-\dot q''\,R_{\text{cond,tijolo}}=930-6000\cdot0,10=930-600=330^\circ\mathrm{C}.Verificação alternativa: T_{s,\text{tijolo}}=T_{\infty}+\dot q''\,R_{\text{conv}}=30+6000\cdot0,05=30+300=330^\circ\mathrm{C},mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Passo 4

Resolução da parte (b) — encontrar L_{2} do isolamento para que a superfície externa (agora a face do isolante que fica em contato com o ar) não passe de 90^\circ\mathrm{C}.
Estratégia:
  • Com o isolamento adicionamos mais uma resistência de condução R_{\text{cond,iso}}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}}.
  • A temperatura da superfície externa (agora a face do isolante) é: T_{s,\text{iso}}=T_{\infty}+\dot q''\,R_{\text{conv}}.
  • Queremos T_{s,\text{iso}}=90^\circ\mathrm{C} como limite máximo. A partir daí podemos obter o fluxo desejado \dot q'' diretamente pela lei de convecção: \dot q''=h_{0}\,(T_{s,\text{iso}}-T_{\infty}).
  • Com esse \dot q'' conhecemos a resistência total necessária: R_{\text{total,req}}=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{\dot q''}.
  • Como R_{\text{total,req}}=R_{\text{cond,tijolo}}+R_{\text{cond,iso}}+R_{\text{conv}}, podemos isolar R_{\text{cond,iso}} e assim L_{2}.

Passo 5

Cálculos numéricos para parte (b).
  1. Fluxo que faz a superfície do isolante ficar a 90^\circ\mathrm{C}: \dot q''=h_{0}\,(90-30)=20\cdot60=1200\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  2. Resistência total necessária: R_{\text{total,req}}=\frac{T_{i}-T_{\infty}}{\dot q''}=\frac{930-30}{1200}=\frac{900}{1200}=0,75\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  3. Já conhecemos R_{\text{cond,tijolo}}=0,10 e R_{\text{conv}}=0,05, então a resistência do isolante requerida é: R_{\text{cond,iso}}=R_{\text{total,req}}-R_{\text{cond,tijolo}}-R_{\text{conv}}=0,75-0,10-0,05=0,60\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  4. Assim a espessura L_{2} do isolante (com k_{2}=0,1\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}) é: L_{2}=k_{2}\,R_{\text{cond,iso}}=0,1\cdot0,60=0,06\\ \mathrm{m}=6\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) T_{s,\text{externa}}=330^\circ\mathrm{C}
(b) L_{\text{isolante}}=6\\ \mathrm{cm}

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