3.46 Os raios interno e externo de uma esfera oca de alumínio sāo r_{1}=5 e r_{2}=10 \mathrm{~cm}, respectivamente. A superfície interna é mantida a T_{1}=330^{\circ} \mathrm{C}, por aquecimento elétrico, enquanto se dissipa calor convectivamente de sua superfície externa com um coeficiente de transferência de calor h=100 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), para um ambiente a T_{-}=30 \mathrm{C}. Utilizando o conceito de resistència térmica, calcule a taxa de transferència de calor através da casca esférica [k=204 \mathrm{~W} /(\mathrm{m}. { }^{\text {c }} C)].

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • raio interno: r_{1}=5\\ \mathrm{cm}.
  • raio externo: r_{2}=10\\ \mathrm{cm}.
  • temperatura da superfície interna: T_{1}=330^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura do ambiente: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • coeficiente de convecção na superfície externa: h=100\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • condutividade térmica do alumínio: k=204\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
O que se pede:
  • Calcular a taxa de transferência de calor através da casca esférica (ou seja, \dot{Q} em watts).

Passo 2

Entendendo a ideia de resistências térmicas em série (aula rápida e intuitiva).
Quando há condução através da parede esférica e, em seguida, convecção na superfície externa, o fluxo de calor pode ser obtido como:
\dot{Q}=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas em série: resistência à condução através da casca esférica R_{\text{cond}} e resistência por convecção na superfície externa R_{\text{conv}}.
Explicando cada termo:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (W).
  • T_{1}-T_{\infty} é a diferença de temperatura que impulsiona o calor (^\circ C).
  • R_{\text{cond}} tem unidades de ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} e representa a “dificuldade” da parede em deixar passar calor por condução.
  • R_{\text{conv}} tem unidades de ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W} e representa a “dificuldade” da convecção de remover calor da superfície.

Passo 3

Fórmula da resistência à condução na casca esférica (derivação curta e necessária).
Para condução radial em uma casca esférica, uma lâmina diferencial de espessura dr tem área \,A(r)=4\pi r^{2}\, e resistência diferencial
dR=\frac{dr}{kA(r)}=\frac{dr}{k\cdot4\pi r^{2}}.
Integrando de r_{1} até r_{2} obtemos a resistência total por condução:
R_{\text{cond}}=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{4\pi k r^{2}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Aqui:
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})),
  • r_{1},r_{2} são os raios (m).

Passo 4

Fórmula da resistência por convecção na superfície externa.
A resistência por convecção na superfície externa é a conhecida:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_{2}},
onde A_{2} é a área externa da esfera:
A_{2}=4\pi r_{2}^{2}.
Aqui:
  • h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot{}^\circ\mathrm{C})),
  • r_{2} deve estar em metros.

Passo 5

Converter unidades e calcular numericamente R_{\text{cond}}.
Converter raios para metros (peguei os r do enunciado):
r_{1}=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Calcular o fator \dfrac{1}{r_{1}}-\dfrac{1}{r_{2}}:
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=\frac{1}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}10}=20-10=10\\ \mathrm{m}^{-1}.
Agora aplicar a fórmula de R_{\text{cond}}:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right) =\frac{1}{4\pi\cdot 204}\cdot 10.
Calculemos:
4\pi k=4\pi\cdot 204,
então numericamente
R_{\text{cond}}=\frac{10}{4\pi\cdot 204}\approx 0{,}00390\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.

Passo 6

Calcular numericamente R_{\text{conv}}, somar resistências e obter \dot{Q}.
Área externa:
A_{2}=4\pi r_{2}^{2}=4\pi(0{,}10)^{2}=4\pi\cdot 0{,}01=0{,}04\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Resistência convectiva:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA_{2}}=\frac{1}{100\cdot 0{,}04\pi}=\frac{1}{4\pi}\approx 0{,}079577\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Resistência total:
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0{,}00390+0{,}079577\approx 0{,}08348\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
Diferença de temperatura:
\Delta T=T_{1}-T_{\infty}=330-30=300\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a taxa de calor é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{300}{0{,}08348}\approx 3{,}59\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica prática.
A convecção externa domina a resistência térmica (é muito maior que a resistência de condução da parede fina), por isso a taxa de calor é limitada principalmente por h e pela área externa. Em prova, identificar que a resistência de condução em casca esférica usa \left(1/r_{1}-1/r_{2}\right) costuma ser chave; depois é só somar com 1/(hA) e dividir a diferença de temperaturas.

Resposta

\displaystyle \dot{Q}\approx 3{,}59\times 10^{3}\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados