3.46 Os raios interno e externo de uma esfera oca de alumínio sāo
e
, respectivamente. A superfície interna é mantida a
, por aquecimento elétrico, enquanto se dissipa calor convectivamente de sua superfície externa com um coeficiente de transferência de calor
, para um ambiente a
. Utilizando o conceito de resistència térmica, calcule a taxa de transferència de calor através da casca esférica
.
C)].
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- raio interno:
. - raio externo:
. - temperatura da superfície interna:
. - temperatura do ambiente:
. - coeficiente de convecção na superfície externa:
. - condutividade térmica do alumínio:
.
O que se pede:
- Calcular a taxa de transferência de calor através da casca esférica (ou seja,
em watts).
Passo 2
Entendendo a ideia de resistências térmicas em série (aula rápida e intuitiva).
Quando há condução através da parede esférica e, em seguida, convecção na superfície externa, o fluxo de calor pode ser obtido como:
onde
é a soma das resistências térmicas em série: resistência à condução através da casca esférica
e resistência por convecção na superfície externa
.
Explicando cada termo:
-
é a taxa de calor (W). -
é a diferença de temperatura que impulsiona o calor (^\circ C). -
tem unidades de e representa a “dificuldade” da parede em deixar passar calor por condução. -
tem unidades de e representa a “dificuldade” da convecção de remover calor da superfície.
Passo 3
Fórmula da resistência à condução na casca esférica (derivação curta e necessária).
Para condução radial em uma casca esférica, uma lâmina diferencial de espessura
tem área
e resistência diferencial
Integrando de
até
obtemos a resistência total por condução:
Aqui:
-
é a condutividade térmica ( ), -
são os raios (m).
Passo 4
Fórmula da resistência por convecção na superfície externa.
A resistência por convecção na superfície externa é a conhecida:
onde
é a área externa da esfera:
Aqui:
-
é o coeficiente de convecção ( ), -
deve estar em metros.
Passo 5
Converter unidades e calcular numericamente
.
Converter raios para metros (peguei os
do enunciado):
Calcular o fator
:
Agora aplicar a fórmula de
:
Calculemos:
então numericamente
Passo 6
Calcular numericamente
, somar resistências e obter
.
Área externa:
Resistência convectiva:
Resistência total:
Diferença de temperatura:
Portanto a taxa de calor é
Passo 7
Interpretação rápida e dica prática.
A convecção externa domina a resistência térmica (é muito maior que a resistência de condução da parede fina), por isso a taxa de calor é limitada principalmente por
e pela área externa. Em prova, identificar que a resistência de condução em casca esférica usa
costuma ser chave; depois é só somar com
e dividir a diferença de temperaturas.