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O valor de um número binomial
e
, é dado por
. Uma consequência desse fato é que
e
têm o mesmo valor. Outra consequência é que a soma
.
A soma
corresponde ao valor do número binomial
(A)
(B)
(C)
(D)
O valor de um número binomial
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as definições e duas identidades úteis para coeficientes binomiais:
- A definição:
para , , . - A identidade de simetria:
. - A identidade de Pascal:
.
O que o problema pede: avaliar a expressão
e identificar, entre as alternativas, a qual número binomial esse valor é igual:
(A)
(B)
(C)
(D) .
e identificar, entre as alternativas, a qual número binomial esse valor é igual:
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 2
Relembrando (e explicando) por que as identidades valem, de forma simples e didática.
-
Simetria:
.
Explicação com a fórmula:que é exatamente o mesmo valor. Intuitivamente: escolherelementos é equivalente a escolher os que ficam de fora. -
Identidade de Pascal:
.
Explicação combinatória curta: para formar um conjunto deelementos de um conjunto com elementos, separamos os casos em que um elemento fixo (chame-o de ) está presente ou ausente. Se está ausente, escolhe-se dentre os restantes: . Se está presente, escolhe-se os outros dentre os restantes: . Somando os dois casos obtém-se . Algebricamente também se prova pela expressão com fatoriais.
Passo 3
Aplicar simetria à soma dada para simplificar termos que combinam bem com a identidade de Pascal.
Temos o termo
. Usando simetria:
Portanto a soma original fica
Passo 4
Agora aplicar a identidade de Pascal ao par
.
Usando com
e
, obtemos:
Usando
Substituindo na expressão:
Passo 5
Aplicar novamente a identidade de Pascal ao par
.
Usando e
, temos:
Usando
Portanto a soma original é igual a
.
Passo 6
Comparando com as alternativas, concluímos que o valor corresponde à alternativa (B).
Resposta
(B)