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O valor de um número binomial \binom{n}{p}, \operatorname{com} n \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{N} e 0 \leq p \leq n, é dado por \frac{n!}{p!\times(n-p)!}. Uma consequência desse fato é que \binom{n}{p} e \binom{n}{n-p} têm o mesmo valor. Outra consequência é que a soma \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}.
A soma \binom{30}{12}+\binom{30}{17}+\binom{31}{14} corresponde ao valor do número binomial
(A) \binom{32}{15}
(B) \binom{32}{14}
(C) \binom{32}{13}
(D) \binom{31}{16}

Passo 1

O enunciado dá as definições e duas identidades úteis para coeficientes binomiais:
  • A definição: \displaystyle \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} para n\in\mathbb{N}, p\in\mathbb{N}, 0\le p\le n.
  • A identidade de simetria: \displaystyle \binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}.
  • A identidade de Pascal: \displaystyle \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}.
O que o problema pede: avaliar a expressão
\displaystyle \binom{30}{12}+\binom{30}{17}+\binom{31}{14}
e identificar, entre as alternativas, a qual número binomial esse valor é igual:
(A) \displaystyle \binom{32}{15}
(B) \displaystyle \binom{32}{14}
(C) \displaystyle \binom{32}{13}
(D) \displaystyle \binom{31}{16}.

Passo 2

Relembrando (e explicando) por que as identidades valem, de forma simples e didática.
  • Simetria: \displaystyle \binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}.
    Explicação com a fórmula:
    \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}\quad\text{e}\quad \binom{n}{n-p}=\frac{n!}{(n-p)!(n-(n-p))!}=\frac{n!}{(n-p)!p!},
    que é exatamente o mesmo valor. Intuitivamente: escolher p elementos é equivalente a escolher os n-p que ficam de fora.
  • Identidade de Pascal: \displaystyle \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}.
    Explicação combinatória curta: para formar um conjunto de p+1 elementos de um conjunto com n+1 elementos, separamos os casos em que um elemento fixo (chame-o de x) está presente ou ausente. Se x está ausente, escolhe-se p+1 dentre os n restantes: \binom{n}{p+1}. Se x está presente, escolhe-se os outros p dentre os n restantes: \binom{n}{p}. Somando os dois casos obtém-se \binom{n+1}{p+1}. Algebricamente também se prova pela expressão com fatoriais.

Passo 3

Aplicar simetria à soma dada para simplificar termos que combinam bem com a identidade de Pascal.
Temos o termo \displaystyle \binom{30}{17}. Usando simetria:
\binom{30}{17}=\binom{30}{30-17}=\binom{30}{13}.
Portanto a soma original fica
\binom{30}{12}+\binom{30}{17}+\binom{31}{14} = \binom{30}{12}+\binom{30}{13}+\binom{31}{14}.

Passo 4

Agora aplicar a identidade de Pascal ao par \displaystyle \binom{30}{12}+\binom{30}{13}.
Usando \displaystyle \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1} com n=30 e p=12, obtemos:
\binom{30}{12}+\binom{30}{13}=\binom{31}{13}.
Substituindo na expressão:
\binom{30}{12}+\binom{30}{13}+\binom{31}{14}=\binom{31}{13}+\binom{31}{14}.

Passo 5

Aplicar novamente a identidade de Pascal ao par \displaystyle \binom{31}{13}+\binom{31}{14}.
Usando n=31 e p=13, temos:
\binom{31}{13}+\binom{31}{14}=\binom{32}{14}.
Portanto a soma original é igual a \displaystyle \binom{32}{14}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, concluímos que o valor corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) \displaystyle \binom{32}{14}

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