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Em uma lanchonete há apenas um tipo de sanduíche, um tipo de suco, servido em copos, e porções de fritas.
Um sanduíche, dois copos de suco e três porções de fritas custam, juntos, R$ 19,80.
Um copo de suco, duas porções de fritas e três sanduíches custam, juntos, R$ 23,00.
Uma porção de fritas, dois sanduíches e três copos de sucos custam, juntos, R$ 20,80.
Todos os sanduíches têm o mesmo preço. Os copos de suco têm o mesmo valor, assim como as porções de fritas.
Com essas informações, pode-se concluir que um copo de suco, uma porção de fritas e um sanduíche, juntos, custam
(A) \mathrm{R} \ 11,00 . (B) \(\mathrm{R} \\) 10,90.
(C) R \ 10,80 . (D) \(R \\) 10,70.

Passo 1

O enunciado dá três compras diferentes com preços iguais por tipo de item. Vou definir variáveis para organizar:
  • x = preço de um sanduíche (em R$),
  • y = preço de um copo de suco (em R$),
  • z = preço de uma porção de fritas (em R$).
As três informações do enunciado viram as equações lineares (peguei os números do enunciado):
x + 2y + 3z = 19,80
3x + y + 2z = 23,00
2x + 3y + z = 20,80
O que a questão pede é o valor de um copo de suco + uma porção de fritas + um sanduíche, ou seja, calcular:
x + y + z.

Passo 2

Estratégia rápida e elegante: essas três equações são lineares e podemos somá‑las membro a membro. A soma de equações lineares também é uma equação válida — isso é a propriedade de linearidade/adição de equações. Somando as três equações temos, no lado esquerdo, somas dos coeficientes de x,y,z e no lado direito a soma dos valores:
Somando:
(x+2y+3z) + (3x+y+2z) + (2x+3y+z) = 19,80 + 23,00 + 20,80.
Agora calcule cada lado separadamente. No lado esquerdo, junte termos semelhantes:
x+3x+2x = 6x,\qquad 2y+y+3y = 6y,\qquad 3z+2z+z = 6z,
logo o lado esquerdo é 6x+6y+6z = 6(x+y+z).
No lado direito:
19,80 + 23,00 = 42,80,\qquad 42,80 + 20,80 = 63,60.
Portanto obtém‑se a equação simples:
6(x+y+z) = 63,60.
Dividindo ambos os lados por 6 (explicando: dividir uma equação significa aplicar a mesma operação em ambos os lados, válida porque 6\neq0):
x+y+z = \frac{63,60}{6} = 10,60.
Então, pelo método de soma das equações, concluímos que o custo de um suco + uma frita + um sanduíche é 10,60 reais.

Passo 3

Vou explicar de outro jeito (mais didático) para você entender como resolver sistemas parecidos na prova: podemos também isolar e encontrar preços individuais para checar consistência.
Partindo da soma total que já tínhamos x+y+z=10,60, subtraio essa equação de cada uma das dadas para eliminar x+y+z e obter relações simples.
Subtraindo de \,x+2y+3z=19,80 a equação x+y+z=10,60 vem:
(x+2y+3z) - (x+y+z) = 19,80 - 10,60,
ou seja
y + 2z = 9,20.
Subtraindo de (3x+y+2z=23,00) três vezes a soma não é necessário — em vez disso faço a diferença direta com 3 vezes? Uma forma mais simples é subtrair (3x+3y+3z) - (3x+y+2z) mas já usei o método anterior; outra maneira é:
Pegando 3x+y+2z=23,00 e subtraindo 3 vezes a equação x+y+z=10,60 obtemos diretamente uma relação sem x:
(3x+y+2z) - 3(x+y+z) = 23,00 - 31,80,
o que dá
-2y - z = -8,80,
ou rearranjando,
2y + z = 8,80.
Agora temos o sistema simples de duas equações em y,z:
\begin{cases} y + 2z = 9,20,\\[4pt] 2y + z = 8,80. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo esse pequeno sistema por eliminação (método prático e rápido na prova). Multiplico a primeira equação por 2 para igualar coeficientes de y:
2y + 4z = 18,40.
Subtraio a segunda equação 2y+z=8,80:
(2y+4z) - (2y+z) = 18,40 - 8,80,
o que dá
3z = 9,60 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{9,60}{3} = 3,20.
Com z=3,20, volto em y+2z=9,20:
y + 2\cdot 3,20 = 9,20 \quad\Rightarrow\quad y + 6,40 = 9,20,
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y = 9,20 - 6,40 = 2,80.
Finalmente x = 10,60 - y - z = 10,60 - 2,80 - 3,20 = 4,60.
Então preços individuais (checagem):
x=4,60,\quad y=2,80,\quad z=3,20,
e somando x+y+z = 4,60+2,80+3,20 = 10,60, consistente com o passo anterior.

Passo 5

Interpretação final e observação sobre as alternativas: concluímos que um copo de suco + uma porção de fritas + um sanduíche custam R\$ 10,60. Note que esse valor não aparece entre as alternativas fornecidas (11,00;\\\ 10,90;\\\ 10,80;\\\ 10,70) — portanto as alternativas parecem estar incorretas ou houve um erro de impressão no enunciado. O cálculo está consistente e único, como mostrado.

Resposta

R\$ 10,60

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