6-46C Express the angular momentum equation in scalar form about a specified axis of rotation for a fixed control volume for steady and uniform flow.

Passo 1

O enunciado quer a forma escalar da equação de momento angular (torque) em torno de um eixo fixo para um volume de controle estacionário, com escoamento uniforme nas superfícies de entrada e saída. Estamos em mecânica dos fluidos, usando a forma integral de conservação do momento angular:
– Conteúdo necessário: formulação integral de momento angular, simplificação para volume de controle fixo e escoamento estacionário, e depois projeção escalar sobre o eixo de rotação.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma vetorial geral da conservação de momento angular para um volume de controle V limitado pela superfície S:
\sum \mathbf{M}_{\text{ext}} = \frac{d}{dt} \int_{V} \rho \,\mathbf{r}\times \mathbf{V}\,dV + \int_{S} \rho\,(\mathbf{r}\times \mathbf{V})\,(\mathbf{V}\cdot \mathbf{n})\,dA
onde \mathbf{r} é o vetor posição, \mathbf{V} é a velocidade, \rho a densidade, \mathbf{n} o vetor normal à superfície voltado para fora,
e \sum \mathbf{M}_{\text{ext}} é o somatório dos torques externos (forças de pressão, atrito, peso, etc.).

Passo 3

Para um volume de controle fixo no espaço e escoamento em regime permanente (steady):
\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\,\mathbf{r}\times \mathbf{V}\,dV = \mathbf{0}.
Logo a equação se reduz a
\sum \mathbf{M}_{\text{ext}} = \int_{S} \rho\,(\mathbf{r}\times \mathbf{V})\,(\mathbf{V}\cdot \mathbf{n})\,dA.

Passo 4

Agora projetamos essa equação em um eixo de rotação unitário \mathbf{e}_k (por exemplo, eixo z). Tomando o produto escalar com \mathbf{e}_k, obtemos a forma escalar:
\sum M_k = \int_{S} \rho\,\bigl[(\mathbf{r}\times \mathbf{V})\cdot \mathbf{e}_k\bigr]\,(\mathbf{V}\cdot \mathbf{n})\,dA.

Passo 5

Se o escoamento nas seções de entrada e saída for uniforme, a integral de superfície se reduz à soma sobre cada entrada/saída i, com vazão mássica \dot m_i = \rho\,V_i\,A_i, posição radial r_i e componente tangencial da velocidade V_{\theta i} (perpendicular ao raio, no plano ortogonal a \mathbf{e}_k):
\sum M_k = \sum_{\,\text{saídas}} \dot m_i\,\bigl(r_i\,V_{\theta i}\bigr) \;-\;\sum_{\,\text{entradas}} \dot m_i\,\bigl(r_i\,V_{\theta i}\bigr).í
O sinal menos aparece porque em entradas \mathbf{V}\cdot\mathbf{n}<0.

Passo 6

Em muitos casos só há uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2). A forma escalar final fica então:
\sum M_k = \dot m_{2}\,\bigl(r_{2}\,V_{\theta 2}\bigr) - \dot m_{1}\,\bigl(r_{1}\,V_{\theta 1}\bigr).

Resposta

\boxed{ \sum M_k = \sum_{\text{out}} \dot m\,r\,V_{\theta} \;-\;\sum_{\text{in}} \dot m\,r\,V_{\theta} }
Em particular, para uma única entrada (1) e saída (2):
\sum M_k = \dot m_{2}\,r_{2}V_{\theta2} - \dot m_{1}\,r_{1}V_{\theta1}.

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