Calcule o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento
e massa m , colocada no eixo x , sendo que uma de sua extremidade está na origem. Repita o cálculo para o caso que a origem coincida com o centro de massa da barra. Resp: a) Ixx=0, lyy=Izz=1/3 ML² , Ixy=Ixz=Iyz=0 b) Ixx=0, lyy=Izz=1/12 ML², Ixy=Ixz=lyz=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesta questão, precisamos calcular o tensor de inércia de uma haste uniforme e fina de comprimento $ L $ e massa $ m $. A gente vai fazer isso em dois casos: primeiro, quando a haste está no eixo $ x $ com uma extremidade na origem, e depois, quando a origem está no centro de massa da barra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o tensor de inércia e como calcular seus componentes para um objeto com distribuição de massa específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação aos diferentes eixos de rotação. Cada componente do tensor $ I_{ij} $ representa a inércia em relação aos eixos $ i $ e $ j $. Para objetos simples, como uma haste fina, podemos calcular esses componentes usando integrais sobre a distribuição de massa.
Passo 3
Vamos começar com o caso a), onde a haste está colocada no eixo $ x $ com uma extremidade na origem. Como a haste é fina e uniforme, toda a sua massa está distribuída ao longo do eixo $ x $.
Passo 4
Para calcular os componentes do tensor de inércia, usamos as seguintes fórmulas gerais:
Passo 5
Como a haste está no eixo $ x $, as coordenadas $ y $ e $ z $ são zero para toda a massa da haste. Portanto, podemos simplificar os cálculos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ I_{yy} $ e $ I_{zz} $. Como a haste é uniforme, a massa por unidade de comprimento $ \lambda $ é $ \lambda = \frac{m}{L} $. A massa $ dm $ em um pequeno segmento $ dx $ é $ dm = \lambda dx $.
Portanto,
Passo 7
Então, para o caso a), os componentes do tensor de inércia são:
Passo 8
Agora, vamos para o caso b), onde a origem está no centro de massa da barra. Nesse caso, a haste se estende de $ -\frac{L}{2} $ a $ \frac{L}{2} $ ao longo do eixo $ x $.
Passo 9
Novamente, $ y = 0 $ e $ z = 0 $ porque a haste está no eixo $ x $. Portanto, os componentes fora da diagonal continuam zero:
Passo 10
Vamos calcular $ I_{yy} $ e $ I_{zz} $:
Resposta
a) $ I_{xx} = 0 $, $ I_{yy} = I_{zz} = \frac{1}{3} mL^2 $, $ I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = 0 $
b) $ I_{xx} = 0 $, $ I_{yy} = I_{zz} = \frac{1}{12} mL^2 $, $ I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = 0 $