49-A tensão na resistência do circuito do Probl. 3.22 é \mathrm{v}_{\mathrm{R}}=15 sen 200t. Calcular a tensão total, a corrente, o ângulo de atraso de i em relação a \mathrm{v}_{\mathrm{T}} e o módulo da impedância.

Passo 1

O enunciado diz que a tensão na resistência do circuito do Problema 3.22 é \mathrm{v}_{\mathrm{R}} = 15 \sin 200t. As perguntas são: calcular
  1. a tensão total \mathrm{v}_{\mathrm{T}},
  2. a corrente i,
  3. o ângulo de atraso de i em relação a \mathrm{v}_{\mathrm{T}},
  4. o módulo da impedância |Z|.
Informações explicitamente dadas:
  • \mathrm{v}_{\mathrm{R}}(t) = 15 \sin 200t.
Informação faltante e crucial:
  • O enunciado refere-se ao “circuito do Probl. 3.22”, porém essa figura/configuração do circuito e os valores dos outros elementos (por exemplo R, L, C, ou a impedância total) não foram fornecidos aqui. Sem saber a topologia do circuito (série, paralelo, quais componentes e seus valores), não é possível obter valores numéricos para as quantidades pedidas.

Passo 2

Explico o que significa cada coisa que pedem e como, em geral, se calcula — assim você já aprende o método e, quando mandar a figura ou os valores, poderá aplicar direto.
Primeiro, transformar a expressão temporal em fasor (forma complexa no domínio da frequência). A tensão dada é
\mathrm{v}_{\mathrm{R}}(t) = 15 \sin 200t.
Para trabalhar com fasores é comum usar seno ou cosseno; aqui podemos associar a um fasor de amplitude de pico 15 e frequência angular \omega = 200\\ \text{rad/s}. O fasor de \mathrm{v}_{\mathrm{R}} (usando referência de fase zero para o seno) é
\underline{V}_R = 15\angle 0^\circ.
Explicação didática: o fasor é uma representação complexa da amplitude e fase da grandeza senoidal. O número 15 é a amplitude de pico, e \angle 0^\circ indica que a função está com fase zero no instante de referência.

Passo 3

Como se obtém a corrente a partir de \mathrm{v}_{\mathrm{R}}?
Se soubermos o valor da resistência R e a configuração do circuito, para a parte resistiva vale a lei de Ohm instantânea:
\mathrm{v}_{\mathrm{R}}(t) = R\, i(t).
Logo, em fasores,
\underline{I} = \frac{\underline{V}_R}{R}.
Isso significa que, para conhecer numericamente i(t) ou \underline{I}, eu preciso do valor numérico de R. Sem R eu só posso escrever a corrente em termos de R:
i(t)=\frac{15}{R}\sin(200t).
Didática extra: essa divisão dá a amplitude da corrente; se quiser a corrente RMS use I_{\text{rms}} = \dfrac{V_{\text{rms}}}{R} com V_{\text{rms}} = 15/\sqrt{2}.

Passo 4

Como se obtém a tensão total \mathrm{v}_{\mathrm{T}} e a impedância?
Depende da topologia:
  • Se o circuito for série (resistor R em série com outros elementos), a mesma corrente percorre todos os elementos. O fasor da tensão total é a soma fasorial das quedas de tensão:
\underline{V}_T = \underline{V}_R + \underline{V}_X,
onde \underline{V}_X é a soma fasorial das tensões nos elementos reativos. Como \underline{V}_R = \underline{I}R e \underline{V}_T = \underline{I}Z, tem-se
\underline{Z} = \frac{\underline{V}_T}{\underline{I}}.
Didática: em série, basta conhecer \underline{I} e a impedância total \underline{Z} (ou os elementos que a compõem) para achar \underline{V}_T.
  • Se o circuito for paralelo, a tensão total \underline{V}_T é a mesma em todos os ramos e \underline{V}_R = \underline{V}_T. Nesse caso, se realmente \underline{V}_R é a tensão na resistência, então
\underline{V}_T = \underline{V}_R = 15\angle 0^\circ
imediatamente — mas isso só vale se o resistor está em paralelo com a fonte (ou seja, se o enunciado realmente indicava isso). Em paralelo, as correntes dos ramos somam:
\underline{I}_{\text{total}} = \underline{I}_R + \underline{I}_{\text{outros ramos}}.
Didática: identificar série vs paralelo é crucial; muda totalmente as relações.

Passo 5

Fórmulas úteis que eu usaria se tivesse a configuração e os valores:
  • Impedância de um indutor:
\underline{Z}_L = j\omega L.
  • Impedância de um capacitor:
\underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}.
  • Impedância série R- L- C:
\underline{Z} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right).
  • Módulo da impedância:
|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \Big(\omega L - \frac{1}{\omega C}\Big)^2}.
  • Ângulo (defasagem entre tensão total e corrente) para série:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R}\right).
Interpretação: se \varphi>0 a corrente atrasa (lag) a tensão fonte? Na convenção usual, a corrente atrasa a tensão por \varphi quando a parte reativa é indutiva; seja cuidadoso com sinal e convenção — eu explico com calma: em série, \underline{V}_T = \underline{I}\,\underline{Z} e a fase de \underline{I} é a fase de \underline{V}_T menos a fase de \underline{Z}.

Passo 6

Exemplos concretos (para você ver como aplicar quando tiver os dados):
Exemplo A — circuito em série com R=10\\ \Omega, L=0{,}05\\ \mathrm{H}, C=\infty (sem capacitor): com \omega=200,
\omega L = 200\times 0{,}05 = 10\\ \Omega.
Então \underline{Z}=10 + j10. Módulo
|\underline{Z}|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\\ \Omega.
A corrente fasorial (sabendo \underline{V}_R = 15\angle 0^\circ) é \underline{I}=\underline{V}_R/R = (15/10)\angle 0^\circ = 1{,}5\angle 0^\circ (isto porque usei a hipótese de conhecer R). A tensão total seria \underline{V}_T=\underline{I}\underline{Z} e assim por diante. (Isto é apenas um exemplo — números inventados para mostrar o caminho.)
Exemplo B — circuito paralelo com resistência R ligada diretamente à fonte: então \underline{V}_T=\underline{V}_R e não preciso de mais nada para a tensão total; bastaria conhecer os outros ramos para achar a corrente total.

Passo 7

O que especificamente eu precisaria do enunciado (ou da figura do Probl. 3.22) para dar respostas numéricas:
  • a configuração do circuito (série ou paralelo, quais elementos estão presentes ligados à resistência),
  • os valores numéricos dos elementos além da resistência: pelo menos R (se já não for a resistência cujo valor desconhecemos), e se houver indutor e/ou capacitor, seus valores L e/ou C,
    ou alternativamente a impedância total complexa \underline{Z} do circuito (ou a tensão total \underline{V}_T em fasor).

Passo 8

Resumo prático do procedimento a aplicar quando eu tiver a figura/valores:
  1. Extrair R, L, C e a topologia.
  2. Calcular \omega = 200\\ \text{rad/s} (já sabemos isso da tensão).
  3. Montar as impedâncias \underline{Z}_R=R, \underline{Z}_L=j\omega L, \underline{Z}_C=1/(j\omega C).
  4. Determinar \underline{Z}_{\text{eq}} conforme a topologia (série: soma; paralelo: inverso da soma dos inversos).
  5. Usar \underline{V}_R = 15\angle 0^\circ para obter \underline{I} (se for caso de série, \underline{I}=\underline{V}_R/R; se for paralelo e a resistência está diretamente aos terminais, então \underline{V}_T=\underline{V}_R e \underline{I} total é soma das correntes dos ramos).
  6. Calcular \underline{V}_T = \underline{I}\,\underline{Z}_{\text{eq}} quando aplicável.
  7. Encontrar o ângulo de defasagem \varphi = \arg(\underline{Z}_{\text{eq}}) (em série a corrente atrasa a fonte por \varphi se \varphi>0, etc.).
  8. Calcular |\underline{Z}| = |\underline{Z}_{\text{eq}}|.

Passo 9

Empatia e encorajamento rápido: eu sei que está apertado com a prova e que essas questões de circuitos AC costumam confundir — principal passo é identificar a topologia e anotar todos os valores. Quando você me mandar a figura do Probl. 3.22 (ou os valores de R,L,C e dizer se é série ou paralelo), eu aplico esses passos de forma detalhada e passo-a-passo, com todas as contas mastigadas para você conseguir reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível calcular numericamente \mathrm{v}_{\mathrm{T}}, i, o ângulo de atraso de i em relação a \mathrm{v}_{\mathrm{T}} nem o módulo da impedância porque a configuração do circuito do Problema 3.22 e os valores dos demais elementos (por exemplo R, L, C ou a impedância total) não foram fornecidos.

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