Use o teste de Raabe para mostrar que a série \sum \frac{n^{n}}{e^{n} n!} converge.

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{e^{n}\,n!}
e pede para usar o teste de Raabe para verificar convergência. Informações relevantes que temos: o termo geral é
a_n=\frac{n^{n}}{e^{n}\,n!},
os termos são positivos para todo n e queremos decidir se a soma infinita converge ou diverge. Não vamos assumir nada ainda sobre o comportamento assintótico além do que conseguirmos deduzir.

Passo 2

Vou explicar o teste de Raabe (de forma didática) antes de aplicá‑lo. Para uma série de termos positivos \sum a_n, define‑se
L=\lim_{n\to\infty} n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right),
quando esse limite existir (ou tiver um limite estendido). O teste diz:
  • Se L>1, então a série converge.
  • Se L<1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida (sem jargões): o teste de Raabe é um refinamento do teste da razão; quando a razão a_{n+1}/a_n tende a 1 (caso fronteira do teste da razão), Raabe pede para ver com que rapidez ela se aproxima de 1, multiplicando a diferença por n. Se essa velocidade for maior que 1/n com constante suficiente ( L>1), a série converge; se for menor ( L<1), diverge.
Assim, preciso calcular \dfrac{a_n}{a_{n+1}} explicitamente e depois o limite L.

Passo 3

Calculo algébrico da razão entre termos consecutivos:
a_n=\frac{n^{n}}{e^{n}\,n!},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{e^{\,n+1}\,(n+1)!}.
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\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^{n}}{e^{n}\,n!}\cdot\frac{e^{\,n+1}\,(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}} = e\cdot\frac{n^{n}(n+1)!}{n!\,(n+1)^{\,n+1}}.
Como (n+1)!/n!=n+1, simplificamos:
\frac{a_n}{a_{n+1}} = e\cdot\frac{n^{n}(n+1)}{(n+1)^{\,n+1}} = e\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n} = e\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!-n}.

Passo 4

Agora precisamos do comportamento de \dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1 para grandes n. É útil usar expansão logarítmica (série de Taylor do \ln) para \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right). Sabemos, para x pequeno,
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3}).
Substituindo x=\dfrac{1}{n} obtemos
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Multiplicando por -n,
-n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=-1+\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Agora exponenciamos para recuperar \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{-n}:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} =\exp\!\Big(-n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\Big) =\exp\!\left(-1+\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right).
Usando \exp(A+B)=\exp(A)\exp(B) e a expansão \exp\!\left(\frac{1}{2n}+O(\tfrac{1}{n^{2}})\right)=1+\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right), obtemos
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=e^{-1}\left(1+\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right).
Multiplicando por e (ver Passo 3),
\frac{a_n}{a_{n+1}} = e\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} =1+\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Portanto
\frac{a_n}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{2n}+O\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
Multiplicando por n,
n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\frac{1}{2}+O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Assim o limite pedido no teste de Raabe é
L=\lim_{n\to\infty} n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o critério de Raabe: encontramos L=\dfrac{1}{2}. Como L<1, o teste de Raabe garante que a série diverge. Ou seja, apesar do pedido original de “mostrar que converge”, o resultado correto (e verificado pelo cálculo) é que a série diverge.
Passagem de checagem (intuitiva): usando a fórmula de Stirling n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n} teríamos
a_n=\frac{n^{n}}{e^{n}\,n!}\sim\frac{n^{n}}{e^{n}\,\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}},
ou seja, a_n tem ordem n^{-1/2}, e a série com termos como n^{-1/2} (p‑série com p=\tfrac{1}{2}) diverge. Isso confirma a conclusão via Raabe.

Resposta

A série diverge.

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