Use o teste de Raabe para mostrar que a série
converge.
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
e pede para usar o teste de Raabe para verificar convergência. Informações relevantes que temos: o termo geral é
os termos são positivos para todo
e queremos decidir se a soma infinita converge ou diverge. Não vamos assumir nada ainda sobre o comportamento assintótico além do que conseguirmos deduzir.
Passo 2
Vou explicar o teste de Raabe (de forma didática) antes de aplicá‑lo. Para uma série de termos positivos
, define‑se
quando esse limite existir (ou tiver um limite estendido). O teste diz:
- Se
, então a série converge. - Se
, então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida (sem jargões): o teste de Raabe é um refinamento do teste da razão; quando a razão
tende a
(caso fronteira do teste da razão), Raabe pede para ver com que rapidez ela se aproxima de
, multiplicando a diferença por
. Se essa velocidade for maior que
com constante suficiente (
), a série converge; se for menor (
), diverge.
Assim, preciso calcular
explicitamente e depois o limite
.
Passo 3
Calculo algébrico da razão entre termos consecutivos:
Logo
Como
, simplificamos:
Passo 4
Agora precisamos do comportamento de
para grandes
. É útil usar expansão logarítmica (série de Taylor do
) para
. Sabemos, para
pequeno,
Substituindo
obtemos
Multiplicando por
,
Agora exponenciamos para recuperar
:
Usando
e a expansão
, obtemos
Multiplicando por
(ver Passo 3),
Portanto
Multiplicando por
,
Assim o limite pedido no teste de Raabe é
Passo 5
Aplicando o critério de Raabe: encontramos
. Como
, o teste de Raabe garante que a série diverge. Ou seja, apesar do pedido original de “mostrar que converge”, o resultado correto (e verificado pelo cálculo) é que a série diverge.
Passagem de checagem (intuitiva): usando a fórmula de Stirling
teríamos
ou seja,
tem ordem
, e a série com termos como
(p‑série com
) diverge. Isso confirma a conclusão via Raabe.
Resposta
A série diverge.