Prove que, se os termos da série convergente \sum a_{k} decresce monotonicamente, então \lim _{k \longrightarrow \infty} k a_{k}= 0.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove que, se os termos da série convergente \sum a_{k} decrescem monotonicamente, então \lim_{k\to\infty} k a_{k}=0.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (de modo explícito):
  • A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge. Quero dizer que a soma infinita tem valor finito.
  • A sequência (a_{k})_{k\ge1} é monotonicamente decrescente, isto é, a_{1}\ge a_{2}\ge a_{3}\ge\cdots.
  • Para esta conclusão é necessário que os termos sejam não-negativos. Portanto vou assumir explicitamente que a_{k}\ge 0 para todo k. (Se os a_k não forem não-negativos, a afirmação pode falhar; por isso assumi a_k\ge0.)
O que preciso provar exatamente:
  • Mostrar que \displaystyle\lim_{k\to\infty} k a_{k}=0.

Passo 2

Vou usar a propriedade fundamental de séries convergentes: as somas parciais têm limite finito, então as “caudas” da série tendem a zero. Defino a cauda a partir de um índice n por
T_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_{k}.
Como \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge, temos
\lim_{n\to\infty} T_{n}=0.
Isto significa que, somando todos os termos a partir de qualquer índice grande, a soma fica arbitrariamente pequena.

Passo 3

Para explorar a monotonicidade vou agrupar os termos da série em blocos de comprimentos potências de dois (é uma técnica clássica, parecida ao teste de condensação de Cauchy). Para n\ge 0 defino o bloco
B_{n}=\sum_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} a_{k}.
Note que cada B_{n} é a diferença de duas caudas:
B_{n}=T_{2^{n}}-T_{2^{n+1}}.
Como T_{m}\to 0 quando m\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} B_{n}=0.
Ou seja: a soma de cada bloco de 2^{n} termos (do índice 2^{n} até 2^{n+1}-1) tende a zero quando n\to\infty.

Passo 4

Agora uso a monotonicidade para relacionar um termo numa posição especial (índice potência de dois) com a soma do bloco anterior. Fixe n\ge 1. Para os índices do bloco anterior temos k\in\{2^{n-1},\dots,2^{n}-1\}. Como a sequência é decrescente, todos esses termos são maiores ou iguais a a_{2^{n}-1} e, em particular, maiores ou iguais a a_{2^{n}} (pois a_{2^{n}}\le a_{2^{n}-1}). Assim
B_{n-1}=\sum_{k=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{k}\ge 2^{\,n-1}\,a_{2^{n}}.
Rearranjando esta desigualdade obtém-se
2^{n} a_{2^{n}} \le 2\,B_{n-1}.

Passo 5

Como vimos no Passo 3 que B_{n-1}\to 0 quando n\to\infty, a desigualdade do Passo 4 implica
\lim_{n\to\infty} 2^{n} a_{2^{n}} = 0.
Ou seja, para os índices que são potências de dois a propriedade desejada já vale: os produtos 2^{n} a_{2^{n}} tendem a zero.

Passo 6

Agora passo dos índices que são potências de dois para um índice arbitrário k. Dado qualquer k\ge1, existe n tal que
2^{n}\le k<2^{n+1}.
Pela monotonicidade a_{k}\le a_{2^{n}} (porque k\ge 2^{n}), então
k\,a_{k} \le 2^{n+1}\,a_{2^{n}} = 2\bigl(2^{n} a_{2^{n}}\bigr).
Tomando limite quando k\to\infty (o que força n\to\infty) e usando o resultado do Passo 5, obtemos
\limsup_{k\to\infty} k\,a_{k} \le 2\cdot\lim_{n\to\infty} 2^{n} a_{2^{n}} = 2\cdot 0 = 0.
Como k a_k\ge 0 (porque a_k\ge0), o \limsup ser 0 implica que o limite existe e é 0. Portanto
\lim_{k\to\infty} k\,a_{k}=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{k\to\infty} k\,a_{k}=0

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