Prove que, se os termos da série convergente
decresce monotonicamente, então
0.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove que, se os termos da série convergente
decrescem monotonicamente, então
.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (de modo explícito):
- A série
converge. Quero dizer que a soma infinita tem valor finito. - A sequência
é monotonicamente decrescente, isto é, - Para esta conclusão é necessário que os termos sejam não-negativos. Portanto vou assumir explicitamente que
para todo . (Se os não forem não-negativos, a afirmação pode falhar; por isso assumi .)
O que preciso provar exatamente:
- Mostrar que
.
Passo 2
Vou usar a propriedade fundamental de séries convergentes: as somas parciais têm limite finito, então as “caudas” da série tendem a zero. Defino a cauda a partir de um índice
por
Como
converge, temos
Isto significa que, somando todos os termos a partir de qualquer índice grande, a soma fica arbitrariamente pequena.
Passo 3
Para explorar a monotonicidade vou agrupar os termos da série em blocos de comprimentos potências de dois (é uma técnica clássica, parecida ao teste de condensação de Cauchy). Para
defino o bloco
Note que cada
é a diferença de duas caudas:
Como
quando
, segue que
Ou seja: a soma de cada bloco de
termos (do índice
até
) tende a zero quando
.
Passo 4
Agora uso a monotonicidade para relacionar um termo numa posição especial (índice potência de dois) com a soma do bloco anterior. Fixe
. Para os índices do bloco anterior temos
. Como a sequência é decrescente, todos esses termos são maiores ou iguais a
e, em particular, maiores ou iguais a
(pois
). Assim
Rearranjando esta desigualdade obtém-se
Passo 5
Como vimos no Passo 3 que
quando
, a desigualdade do Passo 4 implica
Ou seja, para os índices que são potências de dois a propriedade desejada já vale: os produtos
tendem a zero.
Passo 6
Agora passo dos índices que são potências de dois para um índice arbitrário
. Dado qualquer
, existe
tal que
Pela monotonicidade
(porque
), então
Tomando limite quando
(o que força
) e usando o resultado do Passo 5, obtemos
Como
(porque
), o
ser
implica que o limite existe e é
. Portanto