3.58 A parede de um forno tem espessura de 0,5 \mathrm{~m}\left[k=1 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right] \mathrm{e} deve ser isolada com um material isolante \left[k=0,08 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right]. A temperatura no interior do forno é de 1.350^{\circ} \mathrm{C}. Se a perda de calor náo puder exceder 750 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, quando a temperatura da superfície externa for de 50^{\circ} \mathrm{C}, qual é a espessura necessária de isolamento?

Passo 1

O enunciado pede que se determine a espessura do isolamento necessária para que a perda de calor (fluxo de calor por unidade de área) não exceda 750\\ \mathrm{W/m^{2}}, sabendo que há uma parede contínua de forno (camada interna) e, sobre ela, será colocado um isolante (camada externa). Dados fornecidos:
  • Temperatura interna do forno: T_{\text{int}} = 1350^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa (exposta): T_{\text{ext}} = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da parede (camada 1): L_{1} = 0,5\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da parede: k_{1} = 1\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Condutividade térmica do isolamento: k_{2} = 0,08\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Máximo permitido de perda de calor por unidade de área: q''_{\max} = 750\\ \mathrm{W/m^{2}}.
O que precisa ser encontrado: a espessura do isolamento L_{2} que garante q'' \le q''_{\max}, tomando T_{\text{int}} e T_{\text{ext}} como temperaturas conhecidas das faces internas e externas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo simples):
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma camada plana e homogênea, a lei de Fourier dá o fluxo de calor por unidade de área como
q'' = k\,\frac{T_{\text{esq}}-T_{\text{dir}}}{L},
onde:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W/m^{2}});
  • k é a condutividade térmica da camada ( \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)});
  • T_{\text{esq}} e T_{\text{dir}} são as temperaturas nas faces esquerda e direita da camada (em ^\circ\mathrm{C});
  • L é a espessura da camada (em \mathrm{m}).
  • É útil introduzir a resistência térmica da camada, por analogia a resistências elétricas:
R = \frac{L}{k},
com unidade \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W} quando consideramos resistência por unidade de área. Para camadas em série (uma depois da outra) as resistências se somam:
R_{\text{total}} = R_{1} + R_{2} = \frac{L_{1}}{k_{1}} + \frac{L_{2}}{k_{2}}.
  • O fluxo de calor através do conjunto (duas camadas em série) é dado por
q'' = \frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{R_{\text{total}}} = \frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{\dfrac{L_{1}}{k_{1}}+\dfrac{L_{2}}{k_{2}}}.
Explicação informal: o calor “paga” uma queda de temperatura atravessando cada camada, e cada camada oferece uma resistência L/k; mais espessura ou menor k aumenta a resistência e reduz o fluxo.

Passo 3

Vamos usar a fórmula em série e resolver para L_{2}, impondo q''=q''_{\max}. Começamos escrevendo:
q''_{\max} = \frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{\dfrac{L_{1}}{k_{1}}+\dfrac{L_{2}}{k_{2}}}.
Isolando a soma de resistências:
\dfrac{L_{1}}{k_{1}}+\dfrac{L_{2}}{k_{2}} = \frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{q''_{\max}}.
Agora isolamos L_{2}:
\frac{L_{2}}{k_{2}} = \frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{q''_{\max}} - \frac{L_{1}}{k_{1}},
L_{2} = k_{2}\left(\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{q''_{\max}} - \frac{L_{1}}{k_{1}}\right).
Aqui cada passo é apenas álgebra simples: primeiro invertendo a fração para obter a resistência total, depois subtrair a resistência já existente da parede e multiplicar por k_{2} para voltar à espessura.

Passo 4

Substituindo os números dados (colocando cada quantidade em TeX):
  • Diferença de temperatura:
T_{\text{int}}-T_{\text{ext}} = 1350^\circ\mathrm{C} - 50^\circ\mathrm{C} = 1300^\circ\mathrm{C}.
  • Resistência total necessária:
\frac{T_{\text{int}}-T_{\text{ext}}}{q''_{\max}} = \frac{1300}{750} = \frac{26}{15} \approx 1{,}733333\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
(Fiz a simplificação \dfrac{1300}{750}=\dfrac{26}{15} para evitar muitos decimais.)
  • Resistência da parede já existente:
\frac{L_{1}}{k_{1}} = \frac{0,5}{1} = 0{,}5\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  • Então a resistência que o isolante precisa prover é
\frac{L_{2}}{k_{2}} = \frac{26}{15} - 0{,}5 = \frac{26}{15} - \frac{1}{2}.
Vamos calcular exatamente em frações:
\frac{26}{15} - \frac{1}{2} = \frac{52-15}{30} = \frac{37}{30} \approx 1{,}233333\\ \mathrm{m^{2}\cdot^\circ C/W}.
  • Finalmente a espessura do isolamento:
L_{2} = k_{2}\cdot\frac{37}{30} = 0{,}08\cdot\frac{37}{30} = \frac{0{,}08\cdot 37}{30}.
Calculemos o numerador: 0{,}08\cdot 37 = 2{,}96. Dividindo por 30:
L_{2} = \frac{2{,}96}{30} = 0{,}098666\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando com pouca perda de precisão, L_{2}\approx 0{,}0987\\ \mathrm{m}, que em centímetros é cerca de 9{,}87\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Pequena verificação de sentido físico e dica para prova:
  • Resultado positivo e razoável: o isolante é relativamente fino porque sua condutividade é baixa ( k_{2}=0{,}08), então poucas decímetros já aumentam muito a resistência térmica.
  • Se ao calcular desse modo L_{2} tivesse dado negativo, isso significaria que a parede sozinha já fornece resistência suficiente (ou seja, não é necessário isolante para atender ao q''_{\max}). Nesse caso a resposta correta seria dizer L_{2}=0 (nenhuma espessura adicional necessária).
  • Em prova: organize sempre como fizemos — calcule a resistência total necessária por \Delta T/q'', subtraia resistências já existentes e então obtenha a espessura do material isolante por L=k\cdot R. Isso evita erros de sinais e de unidades.

Resposta

L_{2}=0,0987\\ \mathrm{m}

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