3.58 A parede de um forno tem espessura de
deve ser isolada com um material isolante
. A temperatura no interior do forno é de
. Se a perda de calor náo puder exceder 750
, quando a temperatura da superfície externa for de
, qual é a espessura necessária de isolamento?
Passo 1
O enunciado pede que se determine a espessura do isolamento necessária para que a perda de calor (fluxo de calor por unidade de área) não exceda
, sabendo que há uma parede contínua de forno (camada interna) e, sobre ela, será colocado um isolante (camada externa). Dados fornecidos:
- Temperatura interna do forno:
. - Temperatura da superfície externa (exposta):
. - Espessura da parede (camada 1):
. - Condutividade térmica da parede:
. - Condutividade térmica do isolamento:
. - Máximo permitido de perda de calor por unidade de área:
.
O que precisa ser encontrado: a espessura do isolamento
que garante
, tomando
e
como temperaturas conhecidas das faces internas e externas.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de modo simples):
- Para condução estacionária unidimensional através de uma camada plana e homogênea, a lei de Fourier dá o fluxo de calor por unidade de área como
onde:
-
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade ); -
é a condutividade térmica da camada ( ); -
e são as temperaturas nas faces esquerda e direita da camada (em ); -
é a espessura da camada (em ). - É útil introduzir a resistência térmica da camada, por analogia a resistências elétricas:
com unidade
quando consideramos resistência por unidade de área. Para camadas em série (uma depois da outra) as resistências se somam:
- O fluxo de calor através do conjunto (duas camadas em série) é dado por
Explicação informal: o calor “paga” uma queda de temperatura atravessando cada camada, e cada camada oferece uma resistência
; mais espessura ou menor
aumenta a resistência e reduz o fluxo.
Passo 3
Vamos usar a fórmula em série e resolver para
, impondo
. Começamos escrevendo:
Isolando a soma de resistências:
Agora isolamos
:
Aqui cada passo é apenas álgebra simples: primeiro invertendo a fração para obter a resistência total, depois subtrair a resistência já existente da parede e multiplicar por
para voltar à espessura.
Passo 4
Substituindo os números dados (colocando cada quantidade em TeX):
- Diferença de temperatura:
- Resistência total necessária:
(Fiz a simplificação
para evitar muitos decimais.)
- Resistência da parede já existente:
- Então a resistência que o isolante precisa prover é
Vamos calcular exatamente em frações:
- Finalmente a espessura do isolamento:
Calculemos o numerador:
. Dividindo por
:
Arredondando com pouca perda de precisão,
, que em centímetros é cerca de
.
Passo 5
Pequena verificação de sentido físico e dica para prova:
- Resultado positivo e razoável: o isolante é relativamente fino porque sua condutividade é baixa (
), então poucas decímetros já aumentam muito a resistência térmica. - Se ao calcular desse modo
tivesse dado negativo, isso significaria que a parede sozinha já fornece resistência suficiente (ou seja, não é necessário isolante para atender ao ). Nesse caso a resposta correta seria dizer (nenhuma espessura adicional necessária). - Em prova: organize sempre como fizemos — calcule a resistência total necessária por
, subtraia resistências já existentes e então obtenha a espessura do material isolante por . Isso evita erros de sinais e de unidades.