6-46C Express the angular momentum equation in scalar form about a specified axis of rotation for a fixed control volume for steady and uniform flow.
Passo 1
O enunciado quer a forma escalar da equação de momento angular (torque) em torno de um eixo fixo para um volume de controle estacionário, com escoamento uniforme nas superfícies de entrada e saída. Estamos em mecânica dos fluidos, usando a forma integral de conservação do momento angular:
– Conteúdo necessário: formulação integral de momento angular, simplificação para volume de controle fixo e escoamento estacionário, e depois projeção escalar sobre o eixo de rotação.
Passo 2
Escrevemos primeiro a forma vetorial geral da conservação de momento angular para um volume de controle
limitado pela superfície
:
onde
é o vetor posição,
é a velocidade,
a densidade,
o vetor normal à superfície voltado para fora,
e é o somatório dos torques externos (forças de pressão, atrito, peso, etc.).
e
Passo 3
Para um volume de controle fixo no espaço e escoamento em regime permanente (steady):
Logo a equação se reduz a
Passo 4
Agora projetamos essa equação em um eixo de rotação unitário
(por exemplo, eixo
). Tomando o produto escalar com
, obtemos a forma escalar:
Passo 5
Se o escoamento nas seções de entrada e saída for uniforme, a integral de superfície se reduz à soma sobre cada entrada/saída
, com vazão mássica
, posição radial
e componente tangencial da velocidade
(perpendicular ao raio, no plano ortogonal a
):
O sinal menos aparece porque em entradas
.
Passo 6
Em muitos casos só há uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2). A forma escalar final fica então:
Resposta
Em particular, para uma única entrada (1) e saída (2):