6-50 A lawn sprinkler with three identical arms is used to water a garden by rotating in a horizontal plane by the impulse caused by water flow. Water enters the sprinkler along the axis of rotation at a rate of
and leaves the
-diameter nozzles in the tangential direction. The bear-
ing applies a retarding torque of
due to friction at the anticipated operating speeds. For a normal distance of 40 cm between the axis of rotation and the center of the nozzles, determine the angular velocity of the sprinkler shaft.
ing applies a retarding torque of
Passo 1
O problema trata de um sprinkler de três braços que gira num plano horizontal pela reação do jato d’água que sai tangencialmente. Temos:
– Vazão de entrada de água ao eixo: .
– Diâmetro de cada bocal: .
– Raio (distância normal) entre o eixo e o centro dos bocais: .
– Torque de atrito no mancal: .
Conteúdo: conservação do momento angular (impulso) para a água + equilíbrio de torques.
– Vazão de entrada de água ao eixo:
– Diâmetro de cada bocal:
– Raio (distância normal) entre o eixo e o centro dos bocais:
– Torque de atrito no mancal:
Conteúdo: conservação do momento angular (impulso) para a água + equilíbrio de torques.
Passo 2
Calcular a velocidade de saída relativa à tubulação (i.e. no referencial do rotor), assumindo vazão dividida igualmente nos três bocais:
A área de um bocal é
A área de um bocal é
Como há três bocais, a vazão em cada um é
, logo a velocidade relativa de saída vale
Passo 3
Determinar a vazão mássica total:
Passo 4
Expressar o torque produzido pela água pelo princípio do impulso em torno do eixo.
– Entrada: água entra sem momento angular tangencial.
– Saída: cada gota sai com momento angular .
Assumindo que a velocidade de saída absoluta na direção tangencial é
– Entrada: água entra sem momento angular tangencial.
– Saída: cada gota sai com momento angular
Assumindo que a velocidade de saída absoluta na direção tangencial é
(no mesmo sentido em que o rotor gira), o torque resultante é
Passo 5
No regime permanente, o torque de atrito
se equilibra com o torque da água:
Desenvolvendo:
Logo
Passo 6
Substituindo os valores numéricos:
Então