6-54 Consider a centrifugal blower that has a radius of 20 cm and a blade width of 8.2 cm at the impeller inlet, and a radius of 45 cm and a blade width of 5.6 cm at the outlet. The blower delivers air at a rate of 0.70 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} at a rotational speed of 700 rpm . Assuming the air to enter the impeller in radial direction and to exit at an angle of 50^{\circ} from the radial direction, determine the minimum power consumption of the blower. Take the density of air to be 1.25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado descreve um soprador centrífugo com as seguintes características: raio de entrada r_{1}=0{,}20\\ \mathrm{m} e largura de pala na entrada b_{1}=0{,}082\\ \mathrm{m}; raio de saída r_{2}=0{,}45\\ \mathrm{m} e largura de pala na saída b_{2}=0{,}056\\ \mathrm{m}; vazão volumétrica Q=0{,}70\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}; rotação N=700\\ \mathrm{rpm}; entrada do ar puramente radial \alpha_{1}=0^\circ e saída com ângulo \alpha_{2}=50^\circ em relação à direção radial. Densidade do ar \rho=1{,}25\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Conteúdo envolvido: equação de Euler para turbomáquinas, que relaciona potência mínima à variação do momento de quantidade de movimento angular do fluido.

Passo 2

Calcular a velocidade angular \omega e a velocidade periférica na saída u_{2}.
\omega = \frac{2\pi\,N}{60}
u_{2} = \omega\,r_{2}
Numericamente:
\omega = \frac{2\pi\cdot700}{60}\approx73{,}3\\ \mathrm{s}^{-1},\qquad u_{2}=73{,}3\cdot0{,}45\approx32{,}99\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar a componente radial da velocidade absoluta na saída V_{2r} e a componente tangencial V_{2u}.
A área de fluxo na saída é
A_{2}=2\pi\,r_{2}\,b_{2}.
Logo,
V_{2r}=\frac{Q}{A_{2}}
V_{2u}=V_{2r}\,\tan\alpha_{2}.
Substituindo:
A_{2}=2\pi\cdot0{,}45\cdot0{,}056\approx0{,}1584\\ \mathrm{m}^{2},
V_{2r}=\frac{0{,}70}{0{,}1584}\approx4{,}42\\ \mathrm{m/s},
V_{2u}=4{,}42\;\tan50^\circ\approx4{,}42\cdot1{,}1918\approx5{,}27\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar a equação de Euler para potência mínima:
P_{\min}=\rho\,Q\,(u_{2}V_{2u}-u_{1}V_{1u}).
Como a entrada é radial pura, V_{1u}=0 e u_{1}V_{1u}=0. Logo
P_{\min}=\rho\,Q\,u_{2}\,V_{2u}.
Substituindo valores:
P_{\min}=1{,}25\cdot0{,}70\cdot32{,}99\cdot5{,}27\approx152\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência mínima consumida pelo soprador é de aproximadamente 152\\ \mathrm{W}.

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