Se P(A)=0,47, P(B)=0,34, P\text{(C)}=0,28, P(A \cap B)=0,19, P(A \cap C)=0,12, P(B \cap C)=0,09 e P(A \cap B \cap C)=0,05. Calcular: (i) P(\bar{B} \mid A \cup C); (ii) P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}); (iii) P( exatamente um dos eventos A, B, C ocorre).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes probabilidades (vou copiar exatamente os números que você passou):
P(A)=0,47,\quad P(B)=0,34,\quad P\text{(C)}=0,28,
P(A\cap B)=0,19,\quad P(A\cap C)=0,12,\quad P(B\cap C)=0,09,
P(A\cap B\cap C)=0,05.
As perguntas são três:
(i) calcular \;P(\bar{B}\mid A\cup C);\n
(ii) calcular \;P(\bar{A}\cap\bar{B}\cap\bar{C});\n
(iii) calcular \;P(\text{exatamente um dos eventos }A,B,C\text{ ocorre}).

Passo 2

Regra que vamos usar para (i): definição de probabilidade condicional. Para quaisquer eventos X e Y com P(Y)>0,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Aqui X=\bar{B} e Y=A\cup C. Então precisamos de P(\bar{B}\cap (A\cup C)) e de P(A\cup C). Vou calcular P(A\cup C) primeiro.

Passo 3

Fórmula da união de dois eventos (aquela que sempre cai na prova):
P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C).
Substituindo os valores dados:
P(A\cup C)=0,47+0,28-0,12=0,63.
Então P(A\cup C)=0,63.

Passo 4

Agora precisamos de P(\bar{B}\cap (A\cup C)). Note que
\bar{B}\cap (A\cup C)=(A\cup C)\setminus B,
ou seja a parte de A\cup C que não pertence a B. Assim
P(\bar{B}\cap (A\cup C))=P(A\cup C)-P\big((A\cup C)\cap B\big).
E (A\cup C)\cap B=(A\cap B)\cup(C\cap B). Para a probabilidade da união temos:
P\big((A\cap B)\cup(C\cap B)\big)=P(A\cap B)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).

Passo 5

Substituindo os números:
P\big((A\cap B)\cup(C\cap B)\big)=0,19+0,09-0,05=0,23.
Então
P(\bar{B}\cap (A\cup C))=0,63-0,23=0,40.

Passo 6

Agora aplico a fórmula condicional:
P(\bar{B}\mid A\cup C)=\frac{P(\bar{B}\cap (A\cup C))}{P(A\cup C)}=\frac{0,40}{0,63}.
Podemos deixar exato como fração \dfrac{40}{63} ou em decimal aproximado \,0,63492. (Na prova prefira a fração se quiser resultado exato.)

Passo 7

Agora parte (ii). Observação: \bar{A}\cap\bar{B}\cap\bar{C} é o complementar de A\cup B\cup C. Logo
P(\bar{A}\cap\bar{B}\cap\bar{C})=1-P(A\cup B\cup C).
Preciso então de P(A\cup B\cup C), que é calculado pela fórmula de inclusão-exclusão para três eventos:
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).

Passo 8

Substituindo os valores:
P(A\cup B\cup C)=0,47+0,34+0,28-0,19-0,12-0,09+0,05.
Faço as somas passo a passo: 0,47+0,34+0,28=1,09. A soma das interseções pares é 0,19+0,12+0,09=0,40. Então
P(A\cup B\cup C)=1,09-0,40+0,05=0,74.
Portanto
P(\bar{A}\cap\bar{B}\cap\bar{C})=1-0,74=0,26.

Passo 9

Agora (iii): “exatamente um dos eventos ocorre” significa a união disjunta de três eventos: A ocorre e os outros não, ou B ocorre e os outros não, ou C ocorre e os outros não. Em símbolos:
\text{exatamente um}=(A\cap\bar{B}\cap\bar{C})\;\cup\;(\bar{A}\cap B\cap\bar{C})\;\cup\;(\bar{A}\cap\bar{B}\cap C),
estas três partes são disjuntas, então a probabilidade pedida é a soma das três probabilidades. Vou calcular cada uma usando inclusão-exclusão localizada: por exemplo
P(A\cap\bar{B}\cap\bar{C})=P(A)-P(A\cap B)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C),
porque ao subtrair P(A\cap B) e P(A\cap C) subtraímos a parte A\cap B\cap C duas vezes, então somamos de volta.

Passo 10

Calculo A somente:
P(A\cap\bar{B}\cap\bar{C})=0,47-0,19-0,12+0,05=0,21.
Calculo B somente:
P(\bar{A}\cap B\cap\bar{C})=0,34-0,19-0,09+0,05=0,11.
Calculo C somente:
P(\bar{A}\cap\bar{B}\cap C)=0,28-0,12-0,09+0,05=0,12.

Passo 11

Somando as três probabilidades (são disjuntas):
P(\text{exatamente um})=0,21+0,11+0,12=0,44.

Resposta

(i) \dfrac{40}{63} \approx 0,63492
(ii) 0,26
(iii) 0,44

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