Se
e
. Calcular: (i)
; (ii)
; (iii)
exatamente um dos eventos
ocorre).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes probabilidades (vou copiar exatamente os números que você passou):
As perguntas são três:
(i) calcular ;\n
(ii) calcular ;\n
(iii) calcular .
(i) calcular
(ii) calcular
(iii) calcular
Passo 2
Regra que vamos usar para (i): definição de probabilidade condicional. Para quaisquer eventos
e
com
,
Aqui
e
. Então precisamos de
e de
. Vou calcular
primeiro.
Passo 3
Fórmula da união de dois eventos (aquela que sempre cai na prova):
Substituindo os valores dados:
Então
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Note que
ou seja a parte de
que não pertence a
. Assim
E
. Para a probabilidade da união temos:
Passo 5
Substituindo os números:
Então
Passo 6
Agora aplico a fórmula condicional:
Podemos deixar exato como fração
ou em decimal aproximado
. (Na prova prefira a fração se quiser resultado exato.)
Passo 7
Agora parte (ii). Observação:
é o complementar de
. Logo
Preciso então de
, que é calculado pela fórmula de inclusão-exclusão para três eventos:
Passo 8
Substituindo os valores:
Faço as somas passo a passo:
. A soma das interseções pares é
. Então
Portanto
Passo 9
Agora (iii): “exatamente um dos eventos ocorre” significa a união disjunta de três eventos:
ocorre e os outros não, ou
ocorre e os outros não, ou
ocorre e os outros não. Em símbolos:
estas três partes são disjuntas, então a probabilidade pedida é a soma das três probabilidades. Vou calcular cada uma usando inclusão-exclusão localizada: por exemplo
porque ao subtrair
e
subtraímos a parte
duas vezes, então somamos de volta.
Passo 10
Calculo
somente:
Calculo
somente:
Calculo
somente:
Passo 11
Somando as três probabilidades (são disjuntas):
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)