Suponha que B_{1}, B_{2} e B_{3} são eventos mutuamente excludentes dois a dois de um espaço amostral \Omega tais que P\left(B_{1}\right)=0,5, P\left(B_{2}\right)=0,2 e P\left(B_{3}\right)=0,3. Seja A \in \Omega. Suponhamos que P\left(A \mid B_{3}\right)=0,6 ; B_{1} e A sejam independentes e que B_{2} e A sejam mutuamente exclusivos. Calcular P(A), P\left(B_{3} \mid A\right) e P\left(B_{3} \mid \bar{A}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados.
Dados fornecidos:
P\left(B_{1}\right)=0,5,\qquad P\left(B_{2}\right)=0,2,\qquad P\left(B_{3}\right)=0,3.
Os eventos B_{1},B_{2},B_{3} são mutuamente excludentes dois a dois (ou seja, B_{i}\cap B_{j}=\varnothing para i\neq j).\n
É dado também que
P\left(A\mid B_{3}\right)=0,6,
que B_{1} e A são independentes (isso implica P(A\mid B_{1})=P(A)) e que B_{2} e A são mutuamente exclusivos (isso implica P(A\cap B_{2})=0, ou seja P(A\mid B_{2})=0 quando P(B_{2})>0).\n
O que pediram para calcular:
\text{(i) }P(A),\qquad \text{(ii) }P\bigl(B_{3}\mid A\bigr),\qquad \text{(iii) }P\bigl(B_{3}\mid \overline{A}\bigr).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
Definição de probabilidade condicional: para eventos X e Y com P(Y)>0,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Isto é, a probabilidade de X sabendo que ocorreu Y é a razão entre a probabilidade do evento conjunto e a probabilidade do condicionante.
Teorema da probabilidade total (para partição): se B_{1},B_{2},\ldots,B_{n} formam uma partição de \Omega (são disjuntos dois a dois e somam probabilidade 1), então para qualquer evento A
P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_{i})\,P(B_{i}).
Aqui essa fórmula é útil porque B_{1},B_{2},B_{3} são disjuntos e, como 0,5+0,2+0,3=1, formam uma partição do espaço amostral. Eu calculei a soma e confirmei que é 1.
Teorema de Bayes (fórmula inversa): para P(A)>0,
P(B_{i}\mid A)=\frac{P(A\mid B_{i})\,P(B_{i})}{P(A)}.
É só a versão do condicional trocando as posições, muito útil para P(B_{3}\mid A).
Observações sobre independência e exclusão:
  • Se B_{1} e A são independentes então P(A\mid B_{1})=P(A).
  • Se B_{2} e A são mutuamente exclusivos então P(A\cap B_{2})=0. Como P(B_{2})>0, isso implica P(A\mid B_{2})=0.

Passo 3

Calcular P(A) usando a probabilidade total. Vou chamar p:=P(A) para facilitar a escrita (vai aparecer numa equação que resolve p).
Pela probabilidade total, com a partição dada:
P(A)=P(A\mid B_{1})P(B_{1})+P(A\mid B_{2})P(B_{2})+P(A\mid B_{3})P(B_{3}).
Agora uso as informações:
  • por independência, P(A\mid B_{1})=P(A)=p,
  • por exclusão, P(A\mid B_{2})=0,
  • foi dado P(A\mid B_{3})=0,6.
Substituindo:
p = p\cdot 0,5 + 0\cdot 0,2 + 0,6\cdot 0,3.
Calculo o termo numérico:
0,6\cdot 0,3 = 0,18.
Assim:
p = 0,5p + 0,18.
Isolando p:
p - 0,5p = 0,18 \quad\Rightarrow\quad 0,5p = 0,18 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{0,18}{0,5}.
Fazendo a divisão:
p = 0,36.
Portanto P(A)=0,36. (Respira — já pegamos o primeiro.)

Passo 4

Calcular P\bigl(B_{3}\mid A\bigr) usando a fórmula de Bayes.
A fórmula é
P\bigl(B_{3}\mid A\bigr)=\frac{P(A\mid B_{3})\,P(B_{3})}{P(A)}.
Substituo os valores conhecidos:
P\bigl(B_{3}\mid A\bigr)=\frac{0,6\cdot 0,3}{0,36}.
Calculo o numerador:
0,6\cdot 0,3 = 0,18.
Logo
P\bigl(B_{3}\mid A\bigr)=\frac{0,18}{0,36}=0,5.
Também podemos ver que 0,18/0,36 = 1/2. Então P(B_{3}\mid A)=0,5.

Passo 5

Calcular P\bigl(B_{3}\mid \overline{A}\bigr). Vou usar a versão de Bayes para o complementar.
Primeiro calculo P(\overline{A}):
P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,36=0,64.
Também preciso de P(\overline{A}\mid B_{3}), que é 1-P(A\mid B_{3}):
P(\overline{A}\mid B_{3})=1-0,6=0,4.
Agora aplico a fórmula:
P\bigl(B_{3}\mid \overline{A}\bigr)=\frac{P(\overline{A}\mid B_{3})\,P(B_{3})}{P(\overline{A})}=\frac{0,4\cdot 0,3}{0,64}.
Calculo o numerador:
0,4\cdot 0,3 = 0,12.
Dividindo:
\frac{0,12}{0,64}=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}=0,1875.
Portanto P(B_{3}\mid \overline{A})=\tfrac{3}{16}=0,1875.

Resposta

P(A)=0,36\n
P(B_{3}\mid A)=0,5\n
P(B_{3}\mid \overline{A})=\tfrac{3}{16}=0,1875

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