Suponha que B_{1}, B_{2} e B_{3} são eventos mutuamente excludentes dois a dois de um espaço amostral \Omega tais que P\left(B_{1}\right)=0,5, P\left(B_{2}\right)=0,2 e P\left(B_{3}\right)=0,3. Seja A \in \Omega. Suponhamos que P\left(A \mid B_{3}\right)=0,6 ; B_{1} e A sejam independentes e que B_{2} e A sejam mutuamente exclusivos. Calcular P(A), P\left(B_{3} \mid A\right) e P\left(B_{3} \mid \bar{A}\right).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados.
Os eventos B_{1},B_{2},B_{3} são mutuamente excludentes dois a dois (ou seja, B_{i}\cap B_{j}=\varnothing para i\neq j).\n
É dado também que
P\left(A\mid B_{3}\right)=0,6,
que B_{1} e A são independentes (isso implica P(A\mid B_{1})=P(A)) e que B_{2} e A são mutuamente exclusivos (isso implica P(A\cap B_{2})=0, ou seja P(A\mid B_{2})=0 quando P(B_{2})>0).\n
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
Definição de probabilidade condicional: para eventos X e Y com P(Y)>0,
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Isto é, a probabilidade de X sabendo que ocorreu Y é a razão entre a probabilidade do evento conjunto e a probabilidade do condicionante.
Teorema da probabilidade total (para partição): se B_{1},B_{2},\ldots,B_{n} formam uma partição de \Omega (são disjuntos dois a dois e somam probabilidade 1), então para qualquer evento A
P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_{i})\,P(B_{i}).
Aqui essa fórmula é útil porque B_{1},B_{2},B_{3} são disjuntos e, como 0,5+0,2+0,3=1, formam uma partição do espaço amostral. Eu calculei a soma e confirmei que é 1.