Dez empregados de uma empresa foram submetidos a um curso de aperfeiçoamento. Para avaliar a eficácia do curso, foi realizado um teste antes e um teste depois do curso. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por cada um dos candidatos nos dois testes.
Empregado A B C D E F G H I J
Teste antes do curso(X) 3 5 9 10 2 3 6 1 7 4
Teste após o curso(Y) 4 8 10 10 3 5 9 2 10 6
a) Construa um diagrama de dispersão para estes dados.
b) Determine as variâncias de Xe
Y.
c) Determine o coeficiente de correlação entre Xe Y .
d) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
e) Represente graficamente a reta.
f) O que se pode concluir com relação a eficácia do curso? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre os pares de notas antes ( X) e após ( Y) o curso:
a) construir o diagrama de dispersão;
b) determinar as variâncias de X e Y;
c) determinar o coeficiente de correlação entre X e Y;
d) encontrar o coeficiente angular b da reta ajustada (reta de regressão de Y em função de X);
e) representar graficamente essa reta;
f) tirar conclusão sobre a eficácia do curso com justificativa.
Dados fornecidos (copiados da tabela):

Empregados: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.

Notas antes ( X): \;3,\;5,\;9,\;10,\;2,\;3,\;6,\;1,\;7,\;4.
Notas após ( Y): \;4,\;8,\;10,\;10,\;3,\;5,\;9,\;2,\;10,\;6.

Não há figura adicional; vou usar os dados numéricos para construir o diagrama e fazer todos os cálculos passo a passo.

Passo 2

Calcular as médias (explicação rápida): a média aritmética de uma amostra de n valores x_1,\dots,x_n é \bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Aqui n=10.
Somar as observações:
\sum X = 3+5+9+10+2+3+6+1+7+4 = 50.
Logo \displaystyle \bar X = \frac{50}{10} = 5.
\sum Y = 4+8+10+10+3+5+9+2+10+6 = 67.
Logo \displaystyle \bar Y = \frac{67}{10} = 6{,}7.
Essas médias servem para centralizar os dados e são usadas em variâncias, correlação e regressão.

Passo 3

Montar as diferenças em relação às médias e calcular somatórios necessários (vou explicar cada coluna):
Definições usadas:

Para cada par (x_i,y_i) calculamos (x_i-\bar X), (y_i-\bar Y), (x_i-\bar X)^2, (y_i-\bar Y)^2 e (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y).
Cálculos ponto a ponto (mostro os valores essenciais):
  1. A: x=3,\;y=4
    \;x-\bar X=-2,\; y-\bar Y=-2{,}7
    \;(x-\bar X)^2=4,\;(y-\bar Y)^2=7{,}29,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=5{,}4.
  2. B: x=5,\;y=8
    \;x-\bar X=0,\; y-\bar Y=1{,}3
    \;(x-\bar X)^2=0,\;(y-\bar Y)^2=1{,}69,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=0.
  3. C: x=9,\;y=10
    \;x-\bar X=4,\; y-\bar Y=3{,}3
    \;(x-\bar X)^2=16,\;(y-\bar Y)^2=10{,}89,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=13{,}2.
  4. D: x=10,\;y=10
    \;x-\bar X=5,\; y-\bar Y=3{,}3
    \;(x-\bar X)^2=25,\;(y-\bar Y)^2=10{,}89,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=16{,}5.
  5. E: x=2,\;y=3
    \;x-\bar X=-3,\; y-\bar Y=-3{,}7
    \;(x-\bar X)^2=9,\;(y-\bar Y)^2=13{,}69,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=11{,}1.
  6. F: x=3,\;y=5
    \;x-\bar X=-2,\; y-\bar Y=-1{,}7
    \;(x-\bar X)^2=4,\;(y-\bar Y)^2=2{,}89,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=3{,}4.
  7. G: x=6,\;y=9
    \;x-\bar X=1,\; y-\bar Y=2{,}3
    \;(x-\bar X)^2=1,\;(y-\bar Y)^2=5{,}29,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=2{,}3.
  8. H: x=1,\;y=2
    \;x-\bar X=-4,\; y-\bar Y=-4{,}7
    \;(x-\bar X)^2=16,\;(y-\bar Y)^2=22{,}09,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=18{,}8.
  9. I: x=7,\;y=10
    \;x-\bar X=2,\; y-\bar Y=3{,}3
    \;(x-\bar X)^2=4,\;(y-\bar Y)^2=10{,}89,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=6{,}6.
  10. J: x=4,\;y=6
    \;x-\bar X=-1,\; y-\bar Y=-0{,}7
    \;(x-\bar X)^2=1,\;(y-\bar Y)^2=0{,}49,\;(x-\bar X)(y-\bar Y)=0{,}7.
Agora somatórios (usados a seguir):
\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (x_i-\bar X)^2 = 80.
\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (y_i-\bar Y)^2 = 86{,}1.
\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y) = 78{,}0.
Expliquei como chegou a esses números passo a passo acima — é só somar as colunas.

Passo 4

Calcular as variâncias (escolha do método e fórmula): normalmente, para dados amostrais usa-se a variância amostral s^2 com denominador n-1. A fórmula é
s^2_X=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar X)^2,\qquad s^2_Y=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i-\bar Y)^2.
Aqui n=10, então denominador é 9.
Aplicando os somatórios do Passo 3:
\displaystyle s^2_X=\frac{80}{9}= \frac{80}{9}\approx 8{,}888\ldots
\displaystyle s^2_Y=\frac{86{,}1}{9}= \frac{86{,}1}{9}\approx 9{,}566\ldots
Se quiser os desvios-padrão amostrais:
\displaystyle s_X=\sqrt{\frac{80}{9}}\approx 2{,}981 e \displaystyle s_Y=\sqrt{\frac{86{,}1}{9}}\approx 3{,}093.

Passo 5

Coeficiente de correlação de Pearson (o que é e fórmula): mede a força da associação linear entre X e Y. A fórmula usando os somatórios centralizados é
r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar X)^2\; \displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i-\bar Y)^2}}.
Note que aqui usamos os somatórios (não os s^2 com n-1) — a razão final é a mesma que usar covariância amostral dividida pelos desvios amostrais.
Usando os valores do Passo 3:
r=\frac{78{,}0}{\sqrt{80\cdot 86{,}1}}=\frac{78}{\sqrt{6888}}.
Calcule \sqrt{6888}\approx 82{,}997. Então
r\approx \frac{78}{82{,}997}\approx 0{,}94.
Interpretação rápida: r\approx 0{,}94 indica uma correlação positiva muito forte entre X e Y (ou seja, quem tinha nota maior antes tende a manter nota maior depois; os pontos estão bem próximos de uma reta crescente).

Passo 6

Ajuste da reta (mínimos quadrados) e coeficiente angular b:
Fórmula da reta de regressão de Y sobre X: \hat Y = a + bX, onde
b=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\bar X)^2}
e
a=\bar Y - b\,\bar X.
Usando somatórios:
b=\frac{78}{80}=0{,}975.
a=6{,}7 - 0{,}975\cdot 5 = 6{,}7 - 4{,}875 = 1{,}825.
Logo a reta ajustada é
\hat Y = 1{,}825 + 0{,}975\,X.
Significado de b: para cada aumento de 1 ponto em X (nota antes), a nota prevista após o curso Y aumenta em cerca de 0{,}975 ponto. Como b é próximo de 1, a relação é quase de 1 para 1 mais um acréscimo fixo dado pelo intercepto.

Passo 7

Como representar graficamente o diagrama de dispersão e a reta (instruções práticas para traçar à mão ou em software):
a) Diagrama de dispersão: plote os 10 pontos cujas coordenadas são os pares (X,Y):
\displaystyle (3,4),\;(5,8),\;(9,10),\;(10,10),\;(2,3),\;(3,5),\;(6,9),\;(1,2),\;(7,10),\;(4,6).
Eixos sugeridos: eixo horizontal X de 0 a 11, eixo vertical Y de 0 a 12. Marque cada ponto.
b) Reta: use a equação \hat Y = 1{,}825 + 0{,}975X. Para traçar, calcule dois pontos da reta, por exemplo para X=0 e X=10:
\hat Y(0)=1{,}825 e \hat Y(10)=1{,}825+0{,}975\cdot 10 = 11{,}575.
Trace a reta que passa por (0,1{,}825) e (10,11{,}575). Ela deve ficar bem próxima à nuvem de pontos (devido ao r alto).
Observação visual: os pontos estarão agrupados próximos a essa reta crescente — isso confirma a correlação positiva forte.

Passo 8

Conclusão sobre a eficácia do curso (justificativa numérica e qualitativa):
  • A média antes era \bar X=5 e a média depois \bar Y=6{,}7. A melhora média é \bar Y-\bar X=1{,}7 ponto por empregado (ou seja, em média os empregados melhoraram 1,7 ponto no teste). Isso também pode ser visto somando as diferenças Y-X para cada empregado: soma =17, média das diferenças =17/10=1{,}7.
  • A correlação positiva forte ( r\approx 0{,}94) indica que a relação entre antes e depois é bem linear: quem já tinha boa nota antes geralmente manteve boa nota depois.
  • A reta ajustada \hat Y = 1{,}825 + 0{,}975X mostra que, em média, o teste após tende a ser aproximadamente o teste antes mais um acréscimo fixo (o intercepto) e quase uma unidade por unidade de X.
Portanto: há evidências de que o curso teve efeito positivo em média (a nota média aumentou 1{,}7 ponto). A relação forte entre X e Y indica consistência entre quem já sabia mais e quem aprendeu mais, mas o ganho médio positivo sugere eficácia geral do curso. Para afirmação estatística formal (por exemplo, teste de diferença pareada) seria necessário realizar um teste t pareado; aqui, com os números apresentados, a melhora média é clara e relevante.

Resposta

a) Pontos do diagrama de dispersão: (3,4),\;(5,8),\;(9,10),\;(10,10),\;(2,3),\;(3,5),\;(6,9),\;(1,2),\;(7,10),\;(4,6).
b) \displaystyle s^2_X=\frac{80}{9}\approx 8{,}8889,\qquad s^2_Y=\frac{86{,}1}{9}\approx 9{,}5667.
c) Coeficiente de correlação: r\approx 0{,}94.
d) Coeficiente angular da reta (regressão de Y em X): b=0{,}975.
e) Reta ajustada: \displaystyle \hat Y = 1{,}825 + 0{,}975\,X (pontos para desenhar: (0,1{,}825) e (10,11{,}575)).
f) Conclusão: houve melhoria média de 1{,}7 ponto ( \bar Y-\bar X=1{,}7); a correlação positiva forte e o aumento médio indicam que o curso foi eficaz em melhorar as notas.

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