Dez empregados de uma empresa foram submetidos a um curso de aperfeiçoamento. Para avaliar a eficácia do curso, foi realizado um teste antes e um teste depois do curso. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por cada um dos candidatos nos dois testes.
Empregado
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Teste antes do curso(X)
3
5
9
10
2
3
6
1
7
4
Teste após o curso(Y)
4
8
10
10
3
5
9
2
10
6
a) Construa um diagrama de dispersão para estes dados.
b) Determine as variâncias de Xe
Y.
c) Determine o coeficiente de correlação entre Xe Y .
d) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
e) Represente graficamente a reta.
f) O que se pode concluir com relação a eficácia do curso? Justifique.
| Empregado | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| Teste antes do curso(X) | 3 | 5 | 9 | 10 | 2 | 3 | 6 | 1 | 7 | 4 |
| Teste após o curso(Y) | 4 | 8 | 10 | 10 | 3 | 5 | 9 | 2 | 10 | 6 |
b) Determine as variâncias de Xe
Y.
c) Determine o coeficiente de correlação entre Xe Y .
d) Se for ajustada uma reta aos valores de Xe Y , qual o valor do coeficiente angular b ?
e) Represente graficamente a reta.
f) O que se pode concluir com relação a eficácia do curso? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre os pares de notas antes (
) e após (
) o curso:
a) construir o diagrama de dispersão;
b) determinar as variâncias de e
;
c) determinar o coeficiente de correlação entre e
;
d) encontrar o coeficiente angular da reta ajustada (reta de regressão de
em função de
);
e) representar graficamente essa reta;
f) tirar conclusão sobre a eficácia do curso com justificativa.
a) construir o diagrama de dispersão;
b) determinar as variâncias de
c) determinar o coeficiente de correlação entre
d) encontrar o coeficiente angular
e) representar graficamente essa reta;
f) tirar conclusão sobre a eficácia do curso com justificativa.
Dados fornecidos (copiados da tabela):
Empregados: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Notas antes ( ):
.
Notas após ( ):
.
Não há figura adicional; vou usar os dados numéricos para construir o diagrama e fazer todos os cálculos passo a passo.
Empregados: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Notas antes (
Notas após (
Não há figura adicional; vou usar os dados numéricos para construir o diagrama e fazer todos os cálculos passo a passo.
Passo 2
Calcular as médias (explicação rápida): a média aritmética de uma amostra de
valores
é
. Aqui
.
Somar as observações:
Logo
Logo
Logo
Essas médias servem para centralizar os dados e são usadas em variâncias, correlação e regressão.
Passo 3
Montar as diferenças em relação às médias e calcular somatórios necessários (vou explicar cada coluna):
Definições usadas:
Para cada par
calculamos
,
,
,
e
.
Cálculos ponto a ponto (mostro os valores essenciais):
-
A:
-
B:
-
C:
-
D:
-
E:
-
F:
-
G:
-
H:
-
I:
-
J:
Agora somatórios (usados a seguir):
Expliquei como chegou a esses números passo a passo acima — é só somar as colunas.
Passo 4
Calcular as variâncias (escolha do método e fórmula): normalmente, para dados amostrais usa-se a variância amostral
com denominador
. A fórmula é
Aqui
, então denominador é
.
Aplicando os somatórios do Passo 3:
Se quiser os desvios-padrão amostrais:
e
Passo 5
Coeficiente de correlação de Pearson (o que é e fórmula): mede a força da associação linear entre
e
. A fórmula usando os somatórios centralizados é
Note que aqui usamos os somatórios (não os
com
) — a razão final é a mesma que usar covariância amostral dividida pelos desvios amostrais.
Usando os valores do Passo 3:
Calcule
. Então
Interpretação rápida:
indica uma correlação positiva muito forte entre
e
(ou seja, quem tinha nota maior antes tende a manter nota maior depois; os pontos estão bem próximos de uma reta crescente).
Passo 6
Ajuste da reta (mínimos quadrados) e coeficiente angular
:
Fórmula da reta de regressão de
sobre
:
, onde
e
Usando somatórios:
Logo a reta ajustada é
Significado de
: para cada aumento de 1 ponto em
(nota antes), a nota prevista após o curso
aumenta em cerca de
ponto. Como
é próximo de
, a relação é quase de 1 para 1 mais um acréscimo fixo dado pelo intercepto.
Passo 7
Como representar graficamente o diagrama de dispersão e a reta (instruções práticas para traçar à mão ou em software):
a) Diagrama de dispersão: plote os 10 pontos cujas coordenadas são os pares
:
Eixos sugeridos: eixo horizontal de 0 a 11, eixo vertical
de 0 a 12. Marque cada ponto.
Eixos sugeridos: eixo horizontal
b) Reta: use a equação
. Para traçar, calcule dois pontos da reta, por exemplo para
e
:
e
Trace a reta que passa por e
. Ela deve ficar bem próxima à nuvem de pontos (devido ao
alto).
Trace a reta que passa por
Observação visual: os pontos estarão agrupados próximos a essa reta crescente — isso confirma a correlação positiva forte.
Passo 8
Conclusão sobre a eficácia do curso (justificativa numérica e qualitativa):
- A média antes era
e a média depois . A melhora média é ponto por empregado (ou seja, em média os empregados melhoraram 1,7 ponto no teste). Isso também pode ser visto somando as diferenças para cada empregado: soma , média das diferenças . - A correlação positiva forte (
) indica que a relação entre antes e depois é bem linear: quem já tinha boa nota antes geralmente manteve boa nota depois. - A reta ajustada
mostra que, em média, o teste após tende a ser aproximadamente o teste antes mais um acréscimo fixo (o intercepto) e quase uma unidade por unidade de .
Portanto: há evidências de que o curso teve efeito positivo em média (a nota média aumentou
ponto). A relação forte entre
e
indica consistência entre quem já sabia mais e quem aprendeu mais, mas o ganho médio positivo sugere eficácia geral do curso. Para afirmação estatística formal (por exemplo, teste de diferença pareada) seria necessário realizar um teste
pareado; aqui, com os números apresentados, a melhora média é clara e relevante.
Resposta
a) Pontos do diagrama de dispersão:
.
b)
c) Coeficiente de correlação: .
d) Coeficiente angular da reta (regressão de em
):
e) Reta ajustada: (pontos para desenhar:
e
).
f) Conclusão: houve melhoria média de ponto (
); a correlação positiva forte e o aumento médio indicam que o curso foi eficaz em melhorar as notas.
b)
c) Coeficiente de correlação:
d) Coeficiente angular da reta (regressão de
e) Reta ajustada:
f) Conclusão: houve melhoria média de