Um grupo de três estudantes realiza uma prova com questões de múltipla escolha. Suponha que as probabilidades de o primeiro, o segundo e o terceiro estudante acertarem uma determinada questão sejam, respectivamente, 0, 85 ; 0,90 e 0,95 . Suponha que os desempenhos sejam independentes. Determine o espaço amostral associado, a imagem e a função probabilidade da v.a. X= número de estudantes que acertam a questão. Calcule a f.d.a F(x), E(X) e \sigma_{X}.

Passo 1

O enunciado dá um grupo de três estudantes e pede várias coisas sobre a variável aleatória X = número de estudantes que acertam uma mesma questão. Vamos listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados:
  • Probabilidade do primeiro estudante acertar: p_{1}=0,85.
  • Probabilidade do segundo estudante acertar: p_{2}=0,90.
  • Probabilidade do terceiro estudante acertar: p_{3}=0,95.
  • Os desempenhos são independentes.
Perguntas (tudo associado à v.a. X):
  1. Determinar o espaço amostral associado.
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de X.
  3. Determinar a função probabilidade (pmf) de X.
  4. Calcular a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
  5. Calcular E(X).
  6. Calcular \sigma_{X} (desvio padrão de X).
Observação: vou tratar “acertar” como sucesso (valor 1) e “errar” como fracasso (valor 0) para cada estudante, porque isso facilita representar os resultados e somar para obter X.

Passo 2

Construção do espaço amostral. Cada estudante pode acertar (1) ou errar (0). Com três estudantes, o espaço amostral com resultados elementares (ordem: estudante 1, 2, 3) é o conjunto de todas as tuplas binárias de tamanho 3:
S=\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}.
Explicação rápida: são 2^{3}=8 possíveis combinações de acertos/erros.
Probabilidade de cada elemento do espaço: pela independência, a probabilidade de uma tupla (x_{1},x_{2},x_{3}) com x_{i}\in\{0,1\} é
P\bigl((x_{1},x_{2},x_{3})\bigr)=\prod_{i=1}^{3} \bigl(p_{i}\bigr)^{x_{i}}\bigl(1-p_{i}\bigr)^{1-x_{i}}.
Isto significa: se o estudante i acertou ( x_{i}=1) usamos p_{i}, se errou ( x_{i}=0) usamos 1-p_{i}. Esse produto vem diretamente da independência.

Passo 3

Imagem da v.a. X. Como X é o número de acertos entre três testes de Bernoulli, seus valores possíveis são 0,1,2,3. Em notação:
\text{Im}(X)=\{0,1,2,3\}.

Passo 4

Determinar a função probabilidade de X (pmf): para cada k\in\{0,1,2,3\}, P(X=k) é a soma das probabilidades dos elementos de S que têm exatamente k uns. Vou calcular cada caso detalhadamente.
Caso X=0 (nenhum acerto): só o resultado (0,0,0). Pela fórmula do produto,
P(X=0)=(1-p_{1})(1-p_{2})(1-p_{3}).
Substituindo p_{1}=0,85, p_{2}=0,90, p_{3}=0,95:
P(X=0)=0,15\cdot 0,10\cdot 0,05=0,00075.
Caso X=3 (todos acertam): só (1,1,1), então
P(X=3)=p_{1}p_{2}p_{3}=0,85\cdot 0,90\cdot 0,95=0,72675.
Caso X=1 (exatamente um acerto): somamos as três tuplas com exatamente um 1:
\begin{aligned} P(X=1)&=p_{1}(1-p_{2})(1-p_{3})+(1-p_{1})p_{2}(1-p_{3})+(1-p_{1})(1-p_{2})p_{3}\\\ &=0,85\cdot 0,10\cdot 0,05 + 0,15\cdot 0,90\cdot 0,05 + 0,15\cdot 0,10\cdot 0,95. \end{aligned}
Calculemos termo a termo:
0,85\cdot 0,10\cdot 0,05=0,00425,
0,15\cdot 0,90\cdot 0,05=0,00675,
0,15\cdot 0,10\cdot 0,95=0,01425.
Somando:
P(X=1)=0,00425+0,00675+0,01425=0,02525.
Caso X=2 (exatamente dois acertos): podemos somar as três tuplas com exatamente dois 1, ou simplesmente usar que as probabilidades somam 1:
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3).
Já temos os outros três valores:
P(X=2)=1-0,00075-0,02525-0,72675 = 0,24725.
(Validação alternativa: somando explicitamente p_{1}p_{2}(1-p_{3}) + p_{1}(1-p_{2})p_{3} + (1-p_{1})p_{2}p_{3} dá o mesmo número.)
Resumo da pmf:
\begin{aligned} P(X=0)&=0,00075,\\\ P(X=1)&=0,02525,\\\ P(X=2)&=0,24725,\\\ P(X=3)&=0,72675. \end{aligned}
Checagem rápida: soma = 0,00075+0,02525+0,24725+0,72675=1,00000, ou seja, está consistente.

Passo 5

Calcular a função distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Como X é discreta com massa em \{0,1,2,3\}, a f.d.a. é uma função em degraus. Vou escrever F(x) peça por peça (valor numérico para cada intervalo de x):
Para x<0:
F(x)=0.
Para 0\le x<1 (ou seja, 0\le x<1):
F(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=0,00075.
Para 1\le x<2:
F(x)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,00075+0,02525=0,02600.
Para 2\le x<3:
F(x)=P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,02600+0,24725=0,27325.
Para x\ge 3:
F(x)=1.
Observação: os valores numéricos acima são a soma cumulativa dos P(X=k) já calculados.

Passo 6

Calcular E(X). Método didático com indicadores: escrevemos X como soma de variáveis indicadoras de sucesso de cada estudante:
X=I_{1}+I_{2}+I_{3},
onde I_{i}=1 se o estudante i acerta e I_{i}=0 caso contrário. Para uma Bernoulli com parâmetro p_{i} temos E(I_{i})=p_{i}. Pela linearidade da esperança (que vale sempre, mesmo sem independência),
E(X)=E(I_{1})+E(I_{2})+E(I_{3})=p_{1}+p_{2}+p_{3}.
Substituindo números:
E(X)=0,85+0,90+0,95=2,70.
Interpretação: em média espera-se que 2{,}70 estudantes acertem a questão.

Passo 7

Calcular \sigma_{X} (desvio padrão). Primeiro a variância. Para somas de variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias (porque as covariâncias são zero sob independência). Como cada I_{i} é Bernoulli de parâmetro p_{i}, tem
\operatorname{Var}(I_{i})=p_{i}(1-p_{i}).
Então,
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{3} \operatorname{Var}(I_{i})=p_{1}(1-p_{1})+p_{2}(1-p_{2})+p_{3}(1-p_{3}).
Substituindo:
\operatorname{Var}(X)=0,85\cdot 0,15 + 0,90\cdot 0,10 + 0,95\cdot 0,05.
Calculemos termo a termo:
0,85\cdot 0,15=0,1275,
0,90\cdot 0,10=0,0900,
0,95\cdot 0,05=0,0475.
Somando:
\operatorname{Var}(X)=0,1275+0,0900+0,0475=0,2650.
Agora o desvio padrão:
\sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{0,2650}\approx 0,5148.
(Uso aproximação numérica da raiz quadrada; arrodo para 4 casas decimais.)

Passo 8

Resumo final — verificação rápida: as probabilidades da pmf somam 1 (já checado), a esperança está entre 0 e 3 2{,}70, faz sentido), e o desvio padrão é razoável ( \approx 0{,}515).

Resposta

Espaço amostral: S=\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}
Imagem de X: \{0,1,2,3\}
Função probabilidade: P(X=0)=0,00075; P(X=1)=0,02525; P(X=2)=0,24725; P(X=3)=0,72675
Função distribuição F(x):
F(x)=0 para x<0;
F(x)=0,00075 para 0\le x<1;
F(x)=0,02600 para 1\le x<2;
F(x)=0,27325 para 2\le x<3;
F(x)=1 para x\ge 3
E(X)=2,70
\sigma_{X}\approx 0,5148

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