Um grupo de três estudantes realiza uma prova com questões de múltipla escolha. Suponha que as probabilidades de o primeiro, o segundo e o terceiro estudante acertarem uma determinada questão sejam, respectivamente, 0,
e 0,95 . Suponha que os desempenhos sejam independentes. Determine o espaço amostral associado, a imagem e a função probabilidade da v.a.
número de estudantes que acertam a questão. Calcule a f.d.a
e
.
Passo 1
O enunciado dá um grupo de três estudantes e pede várias coisas sobre a variável aleatória
= número de estudantes que acertam uma mesma questão. Vamos listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados:
- Probabilidade do primeiro estudante acertar:
. - Probabilidade do segundo estudante acertar:
. - Probabilidade do terceiro estudante acertar:
. - Os desempenhos são independentes.
Perguntas (tudo associado à v.a.
):
- Determinar o espaço amostral associado.
- Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Determinar a função probabilidade (pmf) de
. - Calcular a função distribuição acumulada
. - Calcular
. - Calcular
(desvio padrão de ).
Observação: vou tratar “acertar” como sucesso (valor
) e “errar” como fracasso (valor
) para cada estudante, porque isso facilita representar os resultados e somar para obter
.
Passo 2
Construção do espaço amostral. Cada estudante pode acertar (1) ou errar (0). Com três estudantes, o espaço amostral com resultados elementares (ordem: estudante 1, 2, 3) é o conjunto de todas as tuplas binárias de tamanho 3:
Explicação rápida: são
possíveis combinações de acertos/erros.
Probabilidade de cada elemento do espaço: pela independência, a probabilidade de uma tupla
com
é
Isto significa: se o estudante
acertou (
) usamos
, se errou (
) usamos
. Esse produto vem diretamente da independência.
Passo 3
Imagem da v.a.
. Como
é o número de acertos entre três testes de Bernoulli, seus valores possíveis são
. Em notação:
Passo 4
Determinar a função probabilidade de
(pmf): para cada
,
é a soma das probabilidades dos elementos de
que têm exatamente
uns. Vou calcular cada caso detalhadamente.
Caso
(nenhum acerto): só o resultado
. Pela fórmula do produto,
Substituindo
,
,
:
Caso
(todos acertam): só
, então
Caso
(exatamente um acerto): somamos as três tuplas com exatamente um 1:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Caso
(exatamente dois acertos): podemos somar as três tuplas com exatamente dois 1, ou simplesmente usar que as probabilidades somam 1:
Já temos os outros três valores:
(Validação alternativa: somando explicitamente
dá o mesmo número.)
Resumo da pmf:
Checagem rápida: soma =
, ou seja, está consistente.
Passo 5
Calcular a função distribuição acumulada
. Como
é discreta com massa em
, a f.d.a. é uma função em degraus. Vou escrever
peça por peça (valor numérico para cada intervalo de
):
Para
:
Para
(ou seja,
):
Para
:
Para
:
Para
:
Observação: os valores numéricos acima são a soma cumulativa dos
já calculados.
Passo 6
Calcular
. Método didático com indicadores: escrevemos
como soma de variáveis indicadoras de sucesso de cada estudante:
onde
se o estudante
acerta e
caso contrário. Para uma Bernoulli com parâmetro
temos
. Pela linearidade da esperança (que vale sempre, mesmo sem independência),
Substituindo números:
Interpretação: em média espera-se que
estudantes acertem a questão.
Passo 7
Calcular
(desvio padrão). Primeiro a variância. Para somas de variáveis independentes, a variância da soma é a soma das variâncias (porque as covariâncias são zero sob independência). Como cada
é Bernoulli de parâmetro
, tem
Então,
Substituindo:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Agora o desvio padrão:
(Uso aproximação numérica da raiz quadrada; arrodo para
casas decimais.)
Passo 8
Resumo final — verificação rápida: as probabilidades da pmf somam
(já checado), a esperança está entre
e
(é
, faz sentido), e o desvio padrão é razoável (
).
Resposta
Espaço amostral:
Imagem de :
Função probabilidade: ;
;
;
Função distribuição :
para
;
para
;
para
;
para
;
para
Imagem de
Função probabilidade:
Função distribuição