47. Cascas esféricas

a. Encontre o momento de inércia em relação ao diâmetro de uma casca esférica fina de raio a e densidade constante \delta. (Trabalhe com uma casca hemisférica e multiplique o resultado por dois.)
b. Utilize o teorema dos eixos paralelos (Exercícios 15.6) e o resultado no item (a) para encontrar o momento de inércia em relação a uma reta tangente à casca.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica fina de raio a e densidade superficial constante \delta. No item (a) vamos calcular I em relação ao diâmetro que passa pelo centro da casca; no item (b) aplicamos o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia em relação a uma reta tangente à casca.

Passo 2

Para o item (a) consideramos uma casca hemisférica e depois dobramos o resultado. Numa coordenada polar sobre a casca, escolhemos o eixo de rotação como o eixo z passando pelos polos. Num anel à colatitude \varphi (medida a partir do polo norte) a distância ao eixo é r=a\sin\varphi. A área desse anel de largura angular d\varphi vale
dA = (\text{circunferência})\times(\text{comprimento}) = 2\pi\,(a\sin\varphi)\,\bigl(a\,d\varphi\bigr)ê
e sua massa é dm = \delta\,dA. Cada elemento desse anel contribui para o momento de inércia com
dI = r^2\,dm = \bigl(a\sin\varphi\bigr)^2\,\delta\bigl(2\pi a\sin\varphi\,a\,d\varphi\bigr).

Passo 3

Integramos \varphi de 0 a \pi/2 para a meia-casca:
I_{\rm hemi} = 2\pi\delta\,a^4 \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\,d\varphi.
Sabendo que
\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\,d\varphi = \tfrac{2}{3},
vimos que
I_{\rm hemi} = 2\pi\delta\,a^4 \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{4\pi}{3}\,\delta\,a^4.
Como a casca inteira é duas vezes a hemisférica,
I_{\rm centro} = 2\,I_{\rm hemi} = \tfrac{8\pi}{3}\,\delta\,a^4.
Se chamarmos M a massa total da casca, temos
M = \delta \times (\text{área total}) = \delta\,(4\pi a^2) \quad\Longrightarrow\quad I_{\rm centro} = \tfrac{8\pi}{3}\,\delta\,a^4 = \tfrac{2}{3}\,M\,a^2.á

Passo 4

Para o item (b), usamos o teorema dos eixos paralelos: se deslocamos o eixo central uma distância d=a até ficar tangente à casca, então
I_{\rm tangente} = I_{\rm centro} + M d^2 = \tfrac{2}{3}\,M\,a^2 + M\,a^2 = \tfrac{5}{3}\,M\,a^2.
Em termos de \delta fica
I_{\rm tangente} = \tfrac{5}{3}\,(4\pi a^2\delta)\,a^2 = \tfrac{20\pi}{3}\,\delta\,a^4.

Resposta

I em relação ao diâmetro (centro) é
I_{\rm centro} = \tfrac{8\pi}{3}\,\delta\,a^4 = \tfrac{2}{3}M\,a^2,
e em relação a uma reta tangente à casca é
I_{\rm tangente} = \tfrac{20\pi}{3}\,\delta\,a^4 = \tfrac{5}{3}M\,a^2.

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