47. Cascas esféricas
a. Encontre o momento de inércia em relação ao diâmetro de uma casca esférica fina de raio
e densidade constante
. (Trabalhe com uma casca hemisférica e multiplique o resultado por dois.)
b. Utilize o teorema dos eixos paralelos (Exercícios 15.6) e o resultado no item (a) para encontrar o momento de inércia em relação a uma reta tangente à casca.
b. Utilize o teorema dos eixos paralelos (Exercícios 15.6) e o resultado no item (a) para encontrar o momento de inércia em relação a uma reta tangente à casca.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica fina de raio
e densidade superficial constante
. No item (a) vamos calcular
em relação ao diâmetro que passa pelo centro da casca; no item (b) aplicamos o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia em relação a uma reta tangente à casca.
Passo 2
Para o item (a) consideramos uma casca hemisférica e depois dobramos o resultado. Numa coordenada polar sobre a casca, escolhemos o eixo de rotação como o eixo
passando pelos polos. Num anel à colatitude
(medida a partir do polo norte) a distância ao eixo é
. A área desse anel de largura angular
vale
e sua massa é
. Cada elemento desse anel contribui para o momento de inércia com
Passo 3
Integramos
de
a
para a meia-casca:
Sabendo que
vimos que
Como a casca inteira é duas vezes a hemisférica,
Se chamarmos
a massa total da casca, temos
Passo 4
Para o item (b), usamos o teorema dos eixos paralelos: se deslocamos o eixo central uma distância
até ficar tangente à casca, então
Em termos de
fica
Resposta
e em relação a uma reta tangente à casca é