50-\int \frac{2 x^{2}+3 x+5}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
50 \;-\;\int \frac{2x^{2} + 3x + 5}{(x^{2}+1)(x+1)}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional e vamos usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para decompor o integrando, escrevemos
\frac{2x^{2} + 3x + 5}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x+1), obtemos
2x^{2} + 3x + 5 = A(x^{2}+1) + (Bx + C)(x+1).

Passo 3

Expandindo o lado direito, temos
A x^{2} + A + Bx^{2} + Bx + Cx + C = (A + B)x^{2} + (B + C)x + (A + C).
Igualando coeficientes ao polinômio 2x^{2}+3x+5\) surge o sistema \[\begin{cases} A + B = 2,\\\ B + C = 3,\\\ A + C = 5. \end{cases}
Da primeira equação vem B=2-A\]. Substituindo na segunda dá \(C=3-B=1+A. Na terceira obtemos
2A + 1 = 5 \quad\Longrightarrow\quad A = 2,
e, consequentemente, B=0 e C=3.

Passo 4

Com esses valores, o integrando fica
\frac{2x^{2} + 3x + 5}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x^{2}+1}.
Logo
\int \frac{2x^{2} + 3x + 5}{(x^{2}+1)(x+1)}\,dx = 2\int \frac{dx}{x+1} + 3\int \frac{dx}{x^{2}+1}.
Sabemos que \int \frac{dx}{x+1} = \ln|x+1| e \int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan(x). Assim,
\int \frac{2x^{2} + 3x + 5}{(x^{2}+1)(x+1)}\,dx = 2\ln|x+1| + 3\arctan(x) + C.

Passo 5

Substituindo no enunciado e lembrando da constante de integração, obtemos
50 \;-\;\bigl(2\ln|x+1| + 3\arctan(x)\bigr) + C = 50 - 2\ln|x+1| - 3\arctan(x) + C.

Resposta

50 - 2\ln|x+1| - 3\arctan(x) + C

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