Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x^{\prime}=x-y
y^{\prime}=x+y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} x' = x - y,\\\ y' = x + y. \end{cases}
Estamos no conteúdo de sistemas lineares de EDOs de primeira ordem. Para resolver, usamos a combinação complexa
z = x + i\,y,
transformando o sistema num único escalar complexo.

Passo 2

Definindo z = x + i\,y, calculamos
z' = x' + i\,y' = (x - y) + i\,(x + y) = x + i\,x \;-\; y + i\,y = (1 + i)\,(x + i\,y) = (1 + i)\,z.
Logo obtemos a EDO
z' = (1 + i)\,z,
cuja taxa de crescimento (autovalor) é \lambda = 1 + i.

Passo 3

A solução geral para z é
z(t) = C\,e^{(1 + i)\,t} = C\,e^{t}\,e^{i\,t},
com C\in\mathbb{C}. Escrevendo C = C_{1} + i\,C_{2} e usando e^{i\,t}=\cos t + i\sin t, separamos as partes real e imaginária:
x(t) = e^{t}\bigl(C_{1}\cos t - C_{2}\sin t\bigr),\qquad y(t) = e^{t}\bigl(C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\bigr),
onde C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} são constantes arbitrárias. Esse é o sistema fundamental de soluções.

Passo 4

Impondo a condição inicial x(0)=1 e y(0)=1, temos
x(0)=C_{1}=1,\qquad y(0)=C_{2}=1.
Logo a solução particular é
x(t)=e^{t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr),\qquad y(t)=e^{t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr).

Passo 5

Para t\to\infty, o fator e^{t} cresce sem limite, enquanto \cos t e \sin t ficam limitados em [-1,1]. Portanto
\sqrt{x(t)^{2}+y(t)^{2}}=e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}} =e^{t}\sqrt{2}\;\longrightarrow\;\infty.
Em outras palavras, a solução traça uma espiral que gira (pela parte trigonométrica) e se afasta exponencialmente do ponto de origem.

Resposta

Solução geral:
x(t)=e^{t}\bigl(C_{1}\cos t - C_{2}\sin t\bigr),\qquad y(t)=e^{t}\bigl(C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\bigr),
constantes C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Para x(0)=1, y(0)=1:
x(t)=e^{t}(\cos t - \sin t),\qquad y(t)=e^{t}(\sin t + \cos t).
Comportamento quando t\to\infty: o módulo cresce como e^{t}\sqrt{2}, logo a solução diverge exponencialmente descrevendo uma espiral.

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