Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando
, da solução que satisfaz a condição inicial
?
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de coeficientes constantes
Estamos no conteúdo de sistemas lineares de EDOs de primeira ordem. Para resolver, usamos a combinação complexa
transformando o sistema num único escalar complexo.
Passo 2
Definindo
, calculamos
Logo obtemos a EDO
cuja taxa de crescimento (autovalor) é
.
Passo 3
A solução geral para
é
com
. Escrevendo
e usando
, separamos as partes real e imaginária:
onde
são constantes arbitrárias. Esse é o sistema fundamental de soluções.
Passo 4
Impondo a condição inicial
e
, temos
Logo a solução particular é
Passo 5
Para
, o fator
cresce sem limite, enquanto
e
ficam limitados em
. Portanto
Em outras palavras, a solução traça uma espiral que gira (pela parte trigonométrica) e se afasta exponencialmente do ponto de origem.
Resposta
Solução geral:
constantes
.
Para ,
:
Para
Comportamento quando
: o módulo cresce como
, logo a solução diverge exponencialmente descrevendo uma espiral.