Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x^{\prime}=x+y
y^{\prime}=4 x+y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais
\begin{cases} x' = x + y,\\\ y' = 4x + y, \end{cases}
e o comportamento para t \to \infty da solução que satisfaz x(0)=1 e y(0)=1.
O conteúdo usado será sistemas lineares com coeficientes constantes, resolvidos por autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma \mathbf{X}' = A\,\mathbf{X}, com
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & 1\end{pmatrix}.
Para encontrar os autovalores \lambda resolvemos
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}1-\lambda & 1\\[3pt]4 & 1-\lambda\end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 -4 = 0,
isto é
\lambda^2 -2\lambda -3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3 \quad\text{ou}\quad \lambda = -1.]

Passo 3

Para \lambda = 3 buscamos vetor próprio \mathbf{v}_1=(v_{1},v_{2}) tal que (A-3I)\mathbf{v}_1=0. Da primeira linha:
(1-3)v_{1} + v_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; -2v_{1}+v_{2}=0 \;\Longrightarrow\; v_{2}=2v_{1}.
Tomamos \mathbf{v}_1=(1,2).
Para \lambda = -1 fazemos o mesmo:
(1+1)v_{1} + v_{2} = 0 \;\Longrightarrow\; 2v_{1}+v_{2}=0 \;\Longrightarrow\; v_{2}=-2v_{1},
logo \mathbf{v}_2=(1,-2).
Assim a solução geral é combinação linear dos modos exponenciais:
\mathbf{X}(t) = C_{1}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Em componentes,
x(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}, \quad y(t)=2C_{1}e^{3t}-2C_{2}e^{-t}.
Impondo x(0)=1\) e \(y(0)=1\) dá o sistema \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\\\ 2C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}
Somando as equações: 2C_{1}=3/2\], logo \(C_{1}=3/4. Daí C_{2}=1-3/4=1/4.

Passo 5

A solução particular é
x(t)=\tfrac{3}{4}e^{3t}+\tfrac{1}{4}e^{-t}, \quad y(t)=\tfrac{3}{2}e^{3t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Quando t\to\infty, o termo e^{3t} domina e ambos crescem como e^{3t}. Em particular
x(t)\to +\infty, \quad y(t)\to +\infty,
e a direção tende ao autovetor (1,2).

Resposta

A solução geral é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_{1}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Para x(0)=1,y(0)=1 obtém-se
x(t)=\tfrac{3}{4}e^{3t}+\tfrac{1}{4}e^{-t}, \quad y(t)=\tfrac{3}{2}e^{3t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Como t\to\infty, x(t),y(t)\to+\infty com crescimento dominante de e^{3t}, caminhando na direção (1,2).

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