Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ? x^{\prime}=x+y y^{\prime}=4 x+y
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais
\begin{cases} x' = x + y,\\\ y' = 4x + y, \end{cases}
e o comportamento para t \to \infty da solução que satisfaz x(0)=1 e y(0)=1.
O conteúdo usado será sistemas lineares com coeficientes constantes, resolvidos por autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma \mathbf{X}' = A\,\mathbf{X}, com
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & 1\end{pmatrix}.