(Exemplo 1.7) Os seres humanos são capazes de controlar suas taxas de produção de calor e de perda de calor para manter uma temperatura corporal interna quase constante de \mathrm{Tc}=37^{\circ} \mathrm{C} sob uma ampla gama de condições ambientais. Esse processo é chamado de termorregulação. Com o objetivo de calcular a transferência de calor entre um corpo humano e sua vizinhança, focamos em uma camada de pele e gordura, com sua superfície externa exposta ao ambiente e sua superfície interna a uma temperatura ligeiramente inferior à temperatura corporal interna, \mathrm{Ti}=35^{\circ} \mathrm{C}=308 \mathrm{~K}. Considere uma pessoa com uma camada de pele/gordura de espessura \mathrm{L}=3 \mathrm{~mm} e condutividade térmica efetiva \mathrm{k}=0,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}. A pessoa tem uma área superficial \mathrm{A}=1,8 \mathrm{~m}^{2} e está vestindo roupa de banho. A emissividade da pele é de 0,95 .
  1. Quando a pessoa está no ar parado a \mathrm{T}=297 \mathrm{~K}, qual é a temperatura da superfície da pele e a taxa de perda de calor para o ambiente? A transferência de calor por convecção para o ar é caracterizada por um coeficiente de convecção livre de \mathrm{h}=2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.K.
  2. Quando a pessoa está na água a \mathrm{T}=297 \mathrm{~K}, qual é a temperatura da superfície da pele e a taxa de perda de calor? A transferência de calor para a água é caracterizada por um coeficiente de convecção de \mathrm{h}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado dá uma camada de pele/gordura com as seguintes informações:
  • temperatura interna imediata à camada: \mathrm{Ti}=35^{\circ}\mathrm{C}=308\\ \mathrm{K};
  • temperatura do ambiente (ar ou água): \mathrm{T}_{\infty}=297\\ \mathrm{K};
  • espessura da camada: \mathrm{L}=3\\ \mathrm{mm}=0,003\\ \mathrm{m};
  • condutividade térmica efetiva: \mathrm{k}=0,3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,\mathrm{K};
  • área da pessoa: \mathrm{A}=1,8\\ \mathrm{m}^2;
  • emissividade da pele: \varepsilon=0,95.
    O enunciado pede, para dois casos de ambiente (ar e água), a temperatura da superfície externa da pele e a taxa de perda de calor total para o ambiente. Os coeficientes de convecção dados são:
  • no ar: \,h=2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K};
  • na água: \,h=200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.

Passo 2

Modelo físico e equação de equilíbrio de energia (ideia passo a passo).
  • Em regime estacionário, o fluxo de calor por condução da camada (do interior para a superfície) deve ser igual ao fluxo total que sai da superfície para o ambiente (convecção + radiação).
  • Fluxo por condução (por unidade de área), 1D e assumindo condutividade uniforme:
q_{\text{cond}}=\frac{k}{L}\,(\mathrm{Ti}-T_s),
onde T_s é a temperatura da superfície externa da pele (em K).
  • Fluxo por convecção (por unidade de área) da superfície para o ambiente:
q_{\text{conv}}=h\,(T_s-T_{\infty}).
  • Fluxo por radiação (por unidade de área), usando a lei de Stefan–Boltzmann:
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4-T_{\infty}^4),
onde \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4 é a constante de Stefan–Boltzmann.
  • Equilíbrio superficial (por unidade de área):
\frac{k}{L}\,(\mathrm{Ti}-T_s)=h\,(T_s-T_{\infty})+\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4-T_{\infty}^4).
Esta é a equação que vamos resolver para T_s. Uma vez obtido T_s, a taxa total de perda de calor é
\dot{Q}=A\;q_{\text{cond}}=A\;\frac{k}{L}\,(\mathrm{Ti}-T_s).

Passo 3

Cálculos preparatórios (constantes e simplificações numéricas úteis).
  • Calcular a condutância da camada:
\frac{k}{L}=\frac{0,3}{0,003}=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Guardar a constante de Stefan–Boltzmann em notação prática:
\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4.
  • A equação a resolver fica, em forma explícita:
100\,(308-T_s)=h\,(T_s-297)+0{,}95\;\sigma\;(T_s^4-297^4).
Vamos resolver essa equação não-linear numericamente para os dois valores de h. Para ficar didático: faremos uma resolução por iteração simples / interpolação linear usando alguns palpites e ajustando até q_{\text{cond}}=q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}} com boa precisão.

Passo 4

Caso 1 — pessoa no ar: h=2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Escrever a equação específica:
100\,(308-T_s)=2\,(T_s-297)+0{,}95\,\sigma\,(T_s^4-297^4).
  • Observação: porque 100 é relativamente grande (camada fina e k razoável), T_s vai ficar perto de 308\\ \mathrm{K}, então usamos palpites próximos de 308.
  • Avaliação em T_s=307{,}0\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-307{,}0)=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=2\,(307{,}0-297)=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Calcular q_{\text{rad}} com a identidade T_s^4-T_{\infty}^4=(T_s-T_{\infty})(T_s^3+T_s^2T_{\infty}+T_sT_{\infty}^2+T_{\infty}^3). Fazendo as contas (detalhes numéricos mostrados abaixo) obtém-se q_{\text{rad}}\approx59{,}90\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx79{,}90\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Como q_{\text{cond}}=100, sobra excesso de condução: f(307{,}0)=100-79{,}90=20{,}10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (positivo).
  • Avaliação em T_s=307{,}2\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-307{,}2)=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=2\,(307{,}2-297)=20{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Cálculo de q_{\text{rad}} q_{\text{rad}}\approx60{,}61\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx81{,}01\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Então f(307{,}2)=80-81{,}01=-1{,}01\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (negativo).
  • Então a raiz está entre 307{,}0 e 307{,}2\\ \mathrm{K}. Interpolando linearmente entre os dois valores de f:
    • T_s\approx307{,}0+\dfrac{20{,}10}{20{,}10-(-1{,}01)}\times0{,}2\approx307{,}1905\\ \mathrm{K}.
  • Verificação rápida: com T_s\approx307{,}1905\\ \mathrm{K},
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-307{,}1905)\approx80{,}95\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=2\,(307{,}1905-297)\approx20{,}381\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{rad}}=\varepsilon\sigma\,(T_s^4-297^4)\approx60{,}57\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx80{,}95\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, igualando q_{\text{cond}} dentro de erro de arredondamento. Ótimo.
  • Taxa total de perda de calor:
    • Por unidade de área q=q_{\text{cond}}\approx80{,}95\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Multiplicando por A=1{,}8\\ \mathrm{m}^2:
    \dot{Q}=1{,}8\times80{,}95\approx145{,}71\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação física (caso 1) e dica de prova
  • Resultado: superfície pouco abaixo da temperatura interna (diferença \sim0{,}81\\ \mathrm{K}), porque a camada é pouco resistente e o coeficiente convectivo no ar é pequeno; a maior parte da perda para o ar ocorre via radiação (aqui a radiação é maior que a convecção livre).
  • Dica de prova: identifique a condutância k/L logo no início; ela costuma ser grande para camadas finas e facilita ver se T_s fica perto de \mathrm{Ti}. Lembre-se sempre de incluir radiação quando houver diferença de temperatura considerável e emissividade alta.

Passo 6

Caso 2 — pessoa na água: h=200\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Escrever a equação:
100\,(308-T_s)=200\,(T_s-297)+0{,}95\,\sigma\,(T_s^4-297^4).
  • Primeiro palpite aproximado ignorando radiação (para ter um ponto inicial):
100\,(308-T_s)\approx200\,(T_s-297)\quad\Rightarrow\quad 30800-100T_s=200T_s-59400,
300T_s=90200\quad\Rightarrow\quad T_s\approx300{,}6667\\ \mathrm{K}.
  • Avaliação mais precisa em T_s=300{,}6667\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-300{,}6667)=733{,}33\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=200\,(300{,}6667-297)=733{,}33\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{rad}} calculado exatamente dá cerca de 21{,}09\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx754{,}42\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, logo f(300{,}6667)=733{,}33-754{,}42=-21{,}09\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (negativo): perda maior que condução.
  • Avaliação em T_s=300{,}200\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-300{,}200)=780{,}00\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=200\,(300{,}200-297)=640{,}00\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{rad}}\approx18{,}37\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx658{,}37\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, então f(300{,}200)=780{,}00-658{,}37=121{,}63\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (positivo).
  • A raiz está entre 300{,}200 e 300{,}6667\\ \mathrm{K}. Interpolando linearmente:
    • Estimativa inicial: T_s\approx300{,}200+\dfrac{121{,}63}{121{,}63-(-21{,}09)}\times0{,}4667\approx300{,}598\\ \mathrm{K}.
  • Verificação em T_s\approx300{,}598\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{cond}}=100\,(308-300{,}598)\approx740{,}20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{conv}}=200\,(300{,}598-297)\approx719{,}60\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • q_{\text{rad}}\approx20{,}68\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Soma q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}}\approx740{,}28\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, o que iguala q_{\text{cond}} dentro de pequena margem numérica. Portanto T_s\approx300{,}598\\ \mathrm{K} é solução.
  • Taxa total de perda de calor:
    • Por unidade de área q\approx740{,}20\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
    • Multiplicando por A=1{,}8\\ \mathrm{m}^2:
    \dot{Q}=1{,}8\times740{,}20\approx1332{,}36\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação física (caso 2) e dica de prova
  • Resultado: na água a superfície fica bem mais fria (cerca de 300{,}6\\ \mathrm{K}, ou 27{,}4^\circ\mathrm{C}) porque o coeficiente convectivo é muito maior e domina a perda de calor; a radiação aí é pequena em comparação com a convecção forçada na água.
  • Dica de prova: quando h é grande, o termo convectivo domina e T_s tende a ficar mais próximo do T_{\infty}; quando h é pequeno, a radiação pode ter papel importante. Sempre verifique ordens de grandeza (aqui \frac{k}{L}=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K} é útil para estimativas rápidas).

Resposta

T_s\approx307{,}19\\ \mathrm{K} (aprox. 34{,}04^\circ\mathrm{C}); \dot{Q}\approx145{,}7\\ \mathrm{W}.\n
T_s\approx300{,}60\\ \mathrm{K} (aprox. 27{,}45^\circ\mathrm{C}); \dot{Q}\approx1332{,}4\\ \mathrm{W}.

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