(Exemplo 1.7) Os seres humanos são capazes de controlar suas taxas de produção de calor e de perda de calor para manter uma temperatura corporal interna quase constante de
sob uma ampla gama de condições ambientais. Esse processo é chamado de termorregulação. Com o objetivo de calcular a transferência de calor entre um corpo humano e sua vizinhança, focamos em uma camada de pele e gordura, com sua superfície externa exposta ao ambiente e sua superfície interna a uma temperatura ligeiramente inferior à temperatura corporal interna,
. Considere uma pessoa com uma camada de pele/gordura de espessura
e condutividade térmica efetiva
. A pessoa tem uma área superficial
e está vestindo roupa de banho. A emissividade da pele é de 0,95 .
- Quando a pessoa está no ar parado a
, qual é a temperatura da superfície da pele e a taxa de perda de calor para o ambiente? A transferência de calor por convecção para o ar é caracterizada por um coeficiente de convecção livre de
.K.
- Quando a pessoa está na água a
, qual é a temperatura da superfície da pele e a taxa de perda de calor? A transferência de calor para a água é caracterizada por um coeficiente de convecção de
.
Passo 1
O enunciado dá uma camada de pele/gordura com as seguintes informações:
- temperatura interna imediata à camada:
; - temperatura do ambiente (ar ou água):
; - espessura da camada:
; - condutividade térmica efetiva:
; - área da pessoa:
; - emissividade da pele:
.
O enunciado pede, para dois casos de ambiente (ar e água), a temperatura da superfície externa da pele e a taxa de perda de calor total para o ambiente. Os coeficientes de convecção dados são: - no ar:
; - na água:
.
Passo 2
Modelo físico e equação de equilíbrio de energia (ideia passo a passo).
- Em regime estacionário, o fluxo de calor por condução da camada (do interior para a superfície) deve ser igual ao fluxo total que sai da superfície para o ambiente (convecção + radiação).
- Fluxo por condução (por unidade de área), 1D e assumindo condutividade uniforme:
onde
é a temperatura da superfície externa da pele (em K).
- Fluxo por convecção (por unidade de área) da superfície para o ambiente:
- Fluxo por radiação (por unidade de área), usando a lei de Stefan–Boltzmann:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann.
- Equilíbrio superficial (por unidade de área):
Esta é a equação que vamos resolver para
. Uma vez obtido
, a taxa total de perda de calor é
Passo 3
Cálculos preparatórios (constantes e simplificações numéricas úteis).
- Calcular a condutância da camada:
- Guardar a constante de Stefan–Boltzmann em notação prática:
- A equação a resolver fica, em forma explícita:
Vamos resolver essa equação não-linear numericamente para os dois valores de
. Para ficar didático: faremos uma resolução por iteração simples / interpolação linear usando alguns palpites e ajustando até
com boa precisão.
Passo 4
Caso 1 — pessoa no ar:
.
- Escrever a equação específica:
- Observação: porque
é relativamente grande (camada fina e k razoável), vai ficar perto de , então usamos palpites próximos de . - Avaliação em
: -
. -
. - Calcular
com a identidade . Fazendo as contas (detalhes numéricos mostrados abaixo) obtém-se . - Soma
. Como , sobra excesso de condução: (positivo).
-
- Avaliação em
: -
. -
. - Cálculo de
dá . - Soma
. Então (negativo).
-
- Então a raiz está entre
e . Interpolando linearmente entre os dois valores de : -
- Verificação rápida: com
, -
. -
. -
. - Soma
, igualando dentro de erro de arredondamento. Ótimo.
-
- Taxa total de perda de calor:
- Por unidade de área
. - Multiplicando por
:
- Por unidade de área
Passo 5
Interpretação física (caso 1) e dica de prova
- Resultado: superfície pouco abaixo da temperatura interna (diferença
), porque a camada é pouco resistente e o coeficiente convectivo no ar é pequeno; a maior parte da perda para o ar ocorre via radiação (aqui a radiação é maior que a convecção livre). - Dica de prova: identifique a condutância
logo no início; ela costuma ser grande para camadas finas e facilita ver se fica perto de . Lembre-se sempre de incluir radiação quando houver diferença de temperatura considerável e emissividade alta.
Passo 6
Caso 2 — pessoa na água:
.
- Escrever a equação:
- Primeiro palpite aproximado ignorando radiação (para ter um ponto inicial):
- Avaliação mais precisa em
: -
. -
. -
calculado exatamente dá cerca de . - Soma
, logo (negativo): perda maior que condução.
-
- Avaliação em
: -
. -
. -
. - Soma
, então (positivo).
-
- A raiz está entre
e . Interpolando linearmente: - Estimativa inicial:
- Estimativa inicial:
- Verificação em
: -
. -
. -
. - Soma
, o que iguala dentro de pequena margem numérica. Portanto é solução.
-
- Taxa total de perda de calor:
- Por unidade de área
. - Multiplicando por
:
- Por unidade de área
Passo 7
Interpretação física (caso 2) e dica de prova
- Resultado: na água a superfície fica bem mais fria (cerca de
, ou ) porque o coeficiente convectivo é muito maior e domina a perda de calor; a radiação aí é pequena em comparação com a convecção forçada na água. - Dica de prova: quando
é grande, o termo convectivo domina e tende a ficar mais próximo do ; quando é pequeno, a radiação pode ter papel importante. Sempre verifique ordens de grandeza (aqui é útil para estimativas rápidas).