Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
3 metros de afastamento lateral.
3 metros de afastamento lateral.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pedido: calcular o acréscimo da tensão vertical sobre um plano horizontal a
de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada na superfície. - Dados fornecidos:
- Carga concentrada na superfície:
. - Profundidade (distância vertical até o ponto onde se quer a tensão):
. - Afastamento lateral (distância horizontal do ponto sob a carga até o ponto onde se quer a tensão):
.
- Carga concentrada na superfície:
- Observação importante: o enunciado não especificou outros efeitos (como estratigrafia ou rigidez do solo), então assumiremos o caso clássico de semi-espaço elástico homogêneo e isotrópico (hipótese necessária para usar a solução de Boussinesq para carga puntual na superfície).
Passo 2
Qual método usar e por que — introdução ao conceito.
- Para uma carga concentrada (ponto) aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito, a solução clássica para o acréscimo de tensão vertical em um ponto subterrâneo é dada pela fórmula de Boussinesq.
- Essa fórmula fornece \emph{a incrementação da tensão vertical}
em função da carga , da profundidade e da distância radial . - Motivação intuitiva: a carga na superfície espalha tensões no solo; a solução de Boussinesq é a resposta elástica linear para esse espalhamento, válida sob as hipóteses citadas.
Passo 3
Apresentação da fórmula de Boussinesq e explicação de cada termo.
- Fórmula (solução de Boussinesq para carga puntual na superfície):
- Significado dos símbolos:
-
: acréscimo da tensão vertical no ponto subterrâneo (unidade: quando está em e distâncias em ). -
: intensidade da carga concentrada aplicada na superfície (aqui ). -
: profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (aqui ). -
: distância horizontal (afastamento lateral) entre a projeção vertical da carga e o ponto subterrâneo (aqui ). -
: constante pi, aproximadamente .
-
Passo 4
Aplicação ao caso particular — simplificação quando
.
- No nosso caso
. Podemos simplificar a expressão substituindo :
- Assim a fórmula fica
- Podemos reescrever
, então
Passo 5
Substituição numérica e contas passo a passo.
- Primeiro, anotar valores:
-
. -
.
-
- Usando a expressão simplificada
substituímos:
- Calcular passo a passo:
-
-
-
-
(mas atenção: esse valor é para multiplicar por ; vamos manter a estrutura correta abaixo). - Calculando o denominador completo:
(valor obtido multiplicando em sequência).
-
- Agora a divisão:
- Lembre:
equivale a , então podemos escrever .
Passo 6
Interpretação e verificação rápida de ordem de grandeza.
- Resultado obtido
faz sentido: uma carga concentrada grande produz um acréscimo de tensões de ordem de poucas dezenas a algumas centenas de kPa a poucos metros de profundidade e a uma distância lateral igual à profundidade. - Lembre-se das hipóteses: solo tratado como semi-espaço elástico, homogêneo e isotrópico. Em solos reais com camadas, compressibilidade variável ou presença de fundações, o valor prático pode diferir — nesses casos usa-se modelagem numérica ou métodos empíricos ajustados.