Calcule o acréscimo de tensões sobre planos horizontais a 3 m de profundidade causado pela sobrecarga concentrada de 15000 kN na superfície do terreno, com:
3 metros de afastamento lateral.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular o acréscimo da tensão vertical sobre um plano horizontal a 3\\ \text{m} de profundidade causado por uma sobrecarga concentrada na superfície.
  • Dados fornecidos:
    • Carga concentrada na superfície: Q = 15000\\ \text{kN}.
    • Profundidade (distância vertical até o ponto onde se quer a tensão): z = 3\\ \text{m}.
    • Afastamento lateral (distância horizontal do ponto sob a carga até o ponto onde se quer a tensão): r = 3\\ \text{m}.
  • Observação importante: o enunciado não especificou outros efeitos (como estratigrafia ou rigidez do solo), então assumiremos o caso clássico de semi-espaço elástico homogêneo e isotrópico (hipótese necessária para usar a solução de Boussinesq para carga puntual na superfície).

Passo 2

Qual método usar e por que — introdução ao conceito.
  • Para uma carga concentrada (ponto) aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito, a solução clássica para o acréscimo de tensão vertical em um ponto subterrâneo é dada pela fórmula de Boussinesq.
  • Essa fórmula fornece \emph{a incrementação da tensão vertical} \Delta\sigma_z em função da carga Q, da profundidade z e da distância radial r.
  • Motivação intuitiva: a carga na superfície espalha tensões no solo; a solução de Boussinesq é a resposta elástica linear para esse espalhamento, válida sob as hipóteses citadas.

Passo 3

Apresentação da fórmula de Boussinesq e explicação de cada termo.
  • Fórmula (solução de Boussinesq para carga puntual na superfície):
\Delta\sigma_z = \frac{3Q\,z^3}{2\pi\left(r^2+z^2\right)^{5/2}}.
  • Significado dos símbolos:
    • \Delta\sigma_z: acréscimo da tensão vertical no ponto subterrâneo (unidade: \text{kN}/\text{m}^2 = \text{kPa} quando Q está em \text{kN} e distâncias em \text{m}).
    • Q: intensidade da carga concentrada aplicada na superfície (aqui 15000\\ \text{kN}).
    • z: profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (aqui 3\\ \text{m}).
    • r: distância horizontal (afastamento lateral) entre a projeção vertical da carga e o ponto subterrâneo (aqui 3\\ \text{m}).
    • \pi: constante pi, aproximadamente 3{,}14159265.

Passo 4

Aplicação ao caso particular — simplificação quando r=z.
  • No nosso caso r=z=3\\ \text{m}. Podemos simplificar a expressão substituindo r=z:
r^2+z^2 = z^2 + z^2 = 2z^2,
\left(r^2+z^2\right)^{5/2} = \left(2z^2\right)^{5/2} = 2^{5/2} z^5.
  • Assim a fórmula fica
\Delta\sigma_z = \frac{3Q\,z^3}{2\pi\,2^{5/2} z^5} = \frac{3Q}{2\pi\,2^{5/2} z^2}.
  • Podemos reescrever 2^{5/2} = 2^2\cdot 2^{1/2} = 4\sqrt{2}, então
\Delta\sigma_z = \frac{3Q}{2\pi\cdot 4\sqrt{2}\, z^2} = \frac{3Q}{8\sqrt{2}\,\pi\, z^2}.

Passo 5

Substituição numérica e contas passo a passo.
  • Primeiro, anotar valores:
    • Q = 15000\\ \text{kN}.
    • z = 3\\ \text{m}.
  • Usando a expressão simplificada
\Delta\sigma_z = \frac{3Q}{8\sqrt{2}\,\pi\, z^2},
substituímos:
\Delta\sigma_z = \frac{3\cdot 15000}{8\sqrt{2}\,\pi\cdot 3^2}.
  • Calcular passo a passo:
    • 3\cdot 15000 = 45000.
    • 3^2 = 9.
    • 8\sqrt{2} = 8\cdot 1{,}41421356\approx 11{,}3137085.
    • 8\sqrt{2}\,\pi \approx 11{,}3137085\cdot 3{,}14159265 \approx 35{,}541 (mas atenção: esse valor é para multiplicar por z^2; vamos manter a estrutura correta abaixo).
    • Calculando o denominador completo: 8\sqrt{2}\,\pi\cdot 9 \approx (11{,}3137085)\cdot 3{,}14159265\cdot 9 \approx 319{,}885 (valor obtido multiplicando em sequência).
  • Agora a divisão:
\Delta\sigma_z \approx \frac{45000}{319{,}885}\\ \text{kN}/\text{m}^2 \approx 140{,}70\\ \text{kN}/\text{m}^2.
  • Lembre: \text{kN}/\text{m}^2 equivale a \text{kPa}, então podemos escrever \Delta\sigma_z \approx 140{,}7\\ \text{kPa}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida de ordem de grandeza.
  • Resultado obtido \approx 140{,}7\\ \text{kPa} faz sentido: uma carga concentrada grande produz um acréscimo de tensões de ordem de poucas dezenas a algumas centenas de kPa a poucos metros de profundidade e a uma distância lateral igual à profundidade.
  • Lembre-se das hipóteses: solo tratado como semi-espaço elástico, homogêneo e isotrópico. Em solos reais com camadas, compressibilidade variável ou presença de fundações, o valor prático pode diferir — nesses casos usa-se modelagem numérica ou métodos empíricos ajustados.

Resposta

\Delta\sigma_z \approx 140{,}7\\ \text{kPa}

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