Considere um O.H.S tipo massa-mola e responda, com cálculos, as questões a seguir. ( 5,0 pontos)
a) Quando o deslocamento for igual a
, que fração da energia total é energia cinética?
b) Para qual(is) posição(ões), em termos da amplitude, a energia potencial é o dobro da energia cinética?
c) Para qual(is) posição(ōes), em termos da amplitude, a energia cinética é o triplo da energia potencial?
a) Quando o deslocamento for igual a
b) Para qual(is) posição(ões), em termos da amplitude, a energia potencial é o dobro da energia cinética?
c) Para qual(is) posição(ōes), em termos da amplitude, a energia cinética é o triplo da energia potencial?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre um oscilador harmônico simples (massa-mola) cuja amplitude vou chamar de
. As perguntas são:
a) Quando o deslocamento é , que fração da energia total é energia cinética?
b) Para qual(is) posição(ões), em termos de , a energia potencial é o dobro da energia cinética?
c) Para qual(is) posição(ões), em termos de , a energia cinética é o triplo da energia potencial?
a) Quando o deslocamento é
b) Para qual(is) posição(ões), em termos de
c) Para qual(is) posição(ões), em termos de
Informações/condições relevantes que usaremos (todas dadas ou padrão do sistema massa-mola):
- Energia potencial elástica em deslocamento
é , onde é a constante da mola. - Energia cinética é
, onde é a massa e a velocidade instantânea. - A energia total
do oscilador é conservada e, no ponto de amplitude , a velocidade é zero, logo
- Vamos usar essas expressões e a conservação de energia para relacionar
, e . Não há mais dados numéricos além do fator pedido no item (a).
Passo 2
A fórmula mais útil: a energia total é a soma de energia cinética e potencial em qualquer instante:
Substituindo as expressões conhecidas, em qualquer posição
temos
Aqui cada símbolo significa:
-
: massa do bloco. -
: constante da mola. -
: velocidade instantânea quando o deslocamento é . -
: amplitude máxima (deslocamento no ponto de virada).
Essa equação já nos dá uma relação direta entree e entre e , sem precisar calcular explicitamente.
Passo 3
Dividindo a expressão de
pela energia total
obtemos uma relação simples:
Portanto a fração da energia total que está em forma de energia potencial é
. Logo a fração que é energia cinética é
Essas duas fórmulas (
e
) são as ferramentas principais que usaremos para responder (a), (b) e (c). Elas vêm diretamente de dividir as expressões de
e
por
.
Passo 4
Dado
, calculamos a fração da energia total que é cinética:
Interpretação:
da energia total está em forma de energia cinética, ou seja
. Em forma de fração exata,
.
Passo 5
Queremos as posições onde
. Use
e substitua:
Fazendo as contas:
Agora use
, então
Portanto as posições são
Se quiser aproximar numericamente,
, logo
.
Passo 6
Agora queremos
. Como
, substituímos:
Usando
, obtemos
Logo as posições são
Nesses pontos a energia cinética corresponde a
e a potencial a
, consistente com
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)