Considere um O.H.S tipo massa-mola e responda, com cálculos, as questões a seguir. ( 5,0 pontos)
a) Quando o deslocamento for igual a 0,8 x_{m}, que fração da energia total é energia cinética?
b) Para qual(is) posição(ões), em termos da amplitude, a energia potencial é o dobro da energia cinética?
c) Para qual(is) posição(ōes), em termos da amplitude, a energia cinética é o triplo da energia potencial?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um oscilador harmônico simples (massa-mola) cuja amplitude vou chamar de x_m. As perguntas são:
a) Quando o deslocamento é x=0,8\,x_m, que fração da energia total é energia cinética?
b) Para qual(is) posição(ões), em termos de x_m, a energia potencial é o dobro da energia cinética?
c) Para qual(is) posição(ões), em termos de x_m, a energia cinética é o triplo da energia potencial?
Informações/condições relevantes que usaremos (todas dadas ou padrão do sistema massa-mola):
  • Energia potencial elástica em deslocamento x é \displaystyle U(x)=\frac{1}{2}\,k\,x^{2}, onde k é a constante da mola.
  • Energia cinética é \displaystyle K=\frac{1}{2}\,m\,v^{2}, onde m é a massa e v a velocidade instantânea.
  • A energia total E do oscilador é conservada e, no ponto de amplitude x=\pm x_m, a velocidade é zero, logo
E=\frac{1}{2}\,k\,x_m^{2}.
  • Vamos usar essas expressões e a conservação de energia para relacionar K, U e E. Não há mais dados numéricos além do fator 0,8 pedido no item (a).

Passo 2

A fórmula mais útil: a energia total é a soma de energia cinética e potencial em qualquer instante:
E=K+U.
Substituindo as expressões conhecidas, em qualquer posição x temos
\frac{1}{2}\,m\,v^{2}+\frac{1}{2}\,k\,x^{2}=\frac{1}{2}\,k\,x_m^{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa do bloco.
  • k: constante da mola.
  • v: velocidade instantânea quando o deslocamento é x.
  • x_m: amplitude máxima (deslocamento no ponto de virada).
    Essa equação já nos dá uma relação direta entre U e E e entre K e E, sem precisar calcular v explicitamente.

Passo 3

Dividindo a expressão de U pela energia total E obtemos uma relação simples:
\frac{U}{E}=\frac{\frac{1}{2}k x^{2}}{\frac{1}{2}k x_m^{2}}=\frac{x^{2}}{x_m^{2}}.
Portanto a fração da energia total que está em forma de energia potencial é \displaystyle \frac{x^{2}}{x_m^{2}}. Logo a fração que é energia cinética é
\frac{K}{E}=1-\frac{U}{E}=1-\frac{x^{2}}{x_m^{2}}.
Essas duas fórmulas ( \frac{U}{E}=\frac{x^{2}}{x_m^{2}} e \frac{K}{E}=1-\frac{x^{2}}{x_m^{2}}) são as ferramentas principais que usaremos para responder (a), (b) e (c). Elas vêm diretamente de dividir as expressões de U e K por E.

Passo 4

Dado x=0,8\,x_m, calculamos a fração da energia total que é cinética:
\frac{K}{E}=1-\frac{x^{2}}{x_m^{2}}=1-(0,8)^{2}=1-0,64=0,36.
Interpretação: 0,36 da energia total está em forma de energia cinética, ou seja 36\%. Em forma de fração exata, 0,36=\dfrac{9}{25}.

Passo 5

Queremos as posições onde U=2K. Use K=E-U e substitua:
U=2(E-U).
Fazendo as contas:
U=2E-2U \quad\Rightarrow\quad 3U=2E \quad\Rightarrow\quad \frac{U}{E}=\frac{2}{3}.
Agora use \frac{U}{E}=\frac{x^{2}}{x_m^{2}}, então
\frac{x^{2}}{x_m^{2}}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{x_m}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.
Portanto as posições são
x=\pm x_m\sqrt{\frac{2}{3}}.
Se quiser aproximar numericamente, \sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx 0,8165, logo x\approx\pm 0,8165\,x_m.

Passo 6

Agora queremos K=3U. Como K=E-U, substituímos:
E-U=3U \quad\Rightarrow\quad E=4U \quad\Rightarrow\quad \frac{U}{E}=\frac{1}{4}.
Usando \frac{U}{E}=\frac{x^{2}}{x_m^{2}}, obtemos
\frac{x^{2}}{x_m^{2}}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{x_m}=\pm\frac{1}{2}.
Logo as posições são
x=\pm \frac{1}{2}\,x_m.
Nesses pontos a energia cinética corresponde a \tfrac{3}{4}E e a potencial a \tfrac{1}{4}E, consistente com K=3U.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{K}{E}=\frac{9}{25}=0,36=36\%
(b) \displaystyle x=\pm x_m\sqrt{\frac{2}{3}}\approx\pm 0,8165\,x_m
(c) \displaystyle x=\pm \frac{1}{2}\,x_m

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