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Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
lim x infty 3 x^2-x+42 x^2+5 x-8
lim x infty raiz12 x^3-5 x+21+4 x^2+3 x^3

Passo 1

O enunciado pede dois limites quando xtoinfty:
L1=limxtoinfty3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8, L2=limxtoinftyraiz12x^3 - 5x + 21 + 4x^2 + 3x^3
O conteúdo é limites de quocientes de polinômios e limite de função composta com raiz quadrada. Vamos usar as propriedades de limite do quociente, de soma e produto de limites e a continuidade da raiz quadrada em R^+.

Passo 2

Para L1 aplicamos a propriedade do limite do quociente e fatoramos x^2 no numerador e denominador:
3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8 = x^2l(3 - 1x + 4x^2r)x^2l(2 + 5x - 8x^2r) = 3 - 1x + 4x^22 + 5x - 8x^2
Aqui usamos que limxtoinftyx^2=inftyneq0, permitindo o cancelamento do fator comum.

Passo 3

Agora usamos as propriedades de soma e produto de limites e que
limxtoinfty1x=0, limxtoinfty1x^2=0. Logo,
L1 =limxtoinfty3 - 1x + 4x^22 + 5x - 8x^2 =3-0+02+0-0 =32

Passo 4

Para L2 usamos a continuidade da função raiz quadrada em R^+, que permite trocar limite e raiz:
L2 =limxtoinftyraiz12x^3 - 5x + 21 + 4x^2 + 3x^3 =raizlimxtoinfty12x^3 - 5x + 21 + 4x^2 + 3x^3

Passo 5

Dentro do limite, aplicamos de novo a propriedade do quociente e fatoramos x^3:
12x^3 - 5x + 21 + 4x^2 + 3x^3 =x^3l(12 - 5x^2 + 2x^3r)x^3l(1x^3 + 4x + 3r) =12 - 5x^2 + 2x^31x^3 + 4x + 3
Usando limxtoinfty1x^k=0, obtemos
limxtoinfty12 - 5x^2 + 2x^31x^3 + 4x + 3 =12-0+00+0+3 =123 =4

Passo 6

Finalmente, pela continuidade da raiz quadrada,
L2 =raiz4 =2

Resposta

limxtoinfty3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8 = 32
limxtoinftyraiz12x^3 - 5x + 21 + 4x^2 + 3x^3 = 2

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