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Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
Passo 1
O enunciado pede dois limites quando
:
O conteúdo é limites de quocientes de polinômios e limite de função composta com raiz quadrada. Vamos usar as propriedades de limite do quociente, de soma e produto de limites e a continuidade da raiz quadrada em
.
Passo 2
Para
aplicamos a propriedade do limite do quociente e fatoramos
no numerador e denominador:
Aqui usamos que
, permitindo o cancelamento do fator comum.
Passo 3
Agora usamos as propriedades de soma e produto de limites e que
,
. Logo,
Passo 4
Para
usamos a continuidade da função raiz quadrada em
, que permite trocar limite e raiz:
Passo 5
Dentro do limite, aplicamos de novo a propriedade do quociente e fatoramos
:
Usando
, obtemos
Passo 6
Finalmente, pela continuidade da raiz quadrada,