Calcule o limite das seguintes funções:
lim x 0 raiz[3]1+c x-1x, onde c neq 0

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto0raiz[3]1+c x-1x, que é uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo aqui envolve limites de indeterminações e podemos usar a expansão em série de Taylor ou interpretar como quociente de diferença (derivada).

Passo 2

Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de ordem 1 em torno de x=0. Lembrando que para t pequeno valemos
(1+t)^tfrac13=1+13,t+o(t)
No nosso caso, fazemos t=cx. Então o numerador fica
raiz[3]1+c x-1=(1+cx)^tfrac13-1=13,c x+o(x)

Passo 3

Dividindo por x, obtemos
raiz[3]1+c x-1x=c3+o(1)

Passo 4

Tomando o limite quando xto0, o termo de erro o(1) tende a zero, restando apenas c/3.

Resposta

tfracc3

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