49 Encontre o limite
lim x infty 12 x+3
lim x infty 3 x+5x-4
lim x -infty 1-x-x^22 x^2-7
lim t -infty 6 t^2+5 t(1-t)(2 t-3)
lim x -infty x^3+5 x2 x^3-x^2+4
lim t -infty t^2+2t^3+t^2-1
lim u infty 4 u^4+5(u^2-2)(2 u^2-1)
lim x infty x+2raiz9 x^2+1
lim x infty raiz9 x^6-xx^3+1
lim x -infty raiz9 x^6-xx^3+1
lim x infty(raiz9 x^2+x-3 x)
lim x -infty(x+raizx^2+2 x)
lim x infty(raizx^2+a x-raizx^2+b x)
lim x infty cos x
lim x infty x+x^3+x^51-x^2+x^4
lim x infty raizx^2+1
lim x -infty(x^4+x^5)
lim x infty(x-raizx)
lim x infty 1-e^x1+2 e^x
lim x infty tg^-1(x^2-x^4)
lim x infty(e^-2 x cos x)
lim x (pi /)^+ e^tg x
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Passo 1

O enunciado pede para calcular diversos limites de funções quando a variável tende a +infty, a -infty ou a um ponto de descontinuidade (no caso da tangente). Vamos agrupar as funções por tipo e usar os seguintes conteúdos:
  • Divisão por maior grau em funções racionais.
  • Simplificação em expressões com raízes e diferença de radicais (conjugado).
  • Comportamento de funções elementares: exponenciais, trigonométricas e arctangente.

Passo 2

(funções racionais pelo maior grau)
Para qualquer função racional, dividimos numerador e denominador pela maior potência de x. Aplicando isso:
limxtoinfty12x+3=0,
limxtoinfty3x+5x-4 =limxtoinfty3+5/x1-4/x=3,
limxto -infty1 - x - x^22x^2 -7 =limxto -infty-1 -1/x +1/x^22 -7/x^2=-tfrac12,
limtto -infty6t^2+5t(1-t)(2t-3) =limtto -infty6 +5/t-2 +5/t -3/t^2=-3,
limxto -inftyx^3+5x2x^3 - x^2 +4 =12,
limtto -inftyt^2+2t^3 +t^2 -1=0,
limutoinfty4u^4+5(u^2-2)(2u^2 -1) =42=2,
limxtoinftyx+x^3+x^51 - x^2 + x^4 =limxtoinftyx^5(1+1/x^2+1/x^4)x^4(1 -1/x^2 +1/x^4) =limxtoinftyx=+infty

Passo 3

(funções com raízes de polinômios)
limxtoinftyx+2raiz9x^2+1 =limxtoinftyx(1+2/x)xraiz9+1/x^2 =13,
limxtoinftyraiz9x^6 -xx^3+1 =x^3raiz9-1/x^5x^3(1+1/x^3)=3,
limxto -inftyraiz9x^6 -xx^3+1 =3|x^3|x^3=-3

Passo 4

(diferença de radicais usando o conjugado)
limxtoinftyl(raiz9x^2+x-3xr) =limxtoinftyxraiz9x^2+x+3x =16,
limxto -inftyl(x+raizx^2+2xr) =limxtoinfty(-t + traiz1-2/t) =-1,
limxtoinftyl(raizx^2+ax-raizx^2+bxr) =limxtoinfty(a-b)xraizx^2+ax+raizx^2+bx =a-b2

Passo 5

(funções elementares)
limxtoinftycos x não existe (oscila entre -1 e 1), ã
limxtoinftyraizx^2+1=+infty,
limxto -infty(x^4+x^5)=-infty,
limxtoinfty(x-raizx)=+infty

Passo 6

(exponenciais e produto)
limxtoinfty1-e^x1+2e^x =limxtoinfty-e^x(1-e^-x)e^x(2+e^-x) =-tfrac12,
limxtoinftye^-2xcos x =0(pois e^-2xto0)

Passo 7

(arctangente)
limxtoinftyarctanl(x^2 - x^4r) =arctan(-infty)=-tfracpi2

Passo 8

(comportamento na descontinuidade da tangente)
limxto(pi/2)^+e^tan x =e^-infty=0

Resposta

&limxtoinftytfrac12x+3=0, &limxtoinftytfrac3x+5x-4=3, &limxto -inftytfrac1 - x - x^22x^2 -7=-tfrac12, &limtto -inftytfrac6t^2+5t(1-t)(2t-3)=-3, &limxto -inftytfracx^3+5x2x^3 - x^2 +4=tfrac12, &limtto -inftytfract^2+2t^3 +t^2 -1=0, &limutoinftytfrac4u^4+5(u^2-2)(2u^2 -1)=2, &limxtoinftytfracx+x^3+x^51 - x^2 + x^4=+infty, &limxtoinftytfracx+2raiz9x^2+1=tfrac13, &limxtoinftytfracraiz9x^6 -xx^3+1=3, &limxto -inftytfracraiz9x^6 -xx^3+1=-3, &limxtoinftyl(raiz9x^2+x-3xr)=tfrac16, &limxto -inftyl(x+raizx^2+2xr)=-1, &limxtoinftyl(raizx^2+ax-raizx^2+bxr)=tfraca-b2, &limxtoinftycos x não existe, &limxtoinftyraizx^2+1=+infty, &limxto -infty(x^4+x^5)=-infty, &limxtoinfty(x-raizx)=+infty, &limxtoinftytfrac1-e^x1+2e^x=-tfrac12, &limxtoinftyarctan(x^2 - x^4)=-tfracpi2, &limxtoinftye^-2xcos x=0, &limxto(pi/2)^+e^tan x=0 ã

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