Exercício 2. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque se aproxima de ficar vazio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com uma mistura de água e sal. Inicialmente, tem 100 litros de solução e 10 gramas de sal. Água pura está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto a solução está saindo a 2 litros por minuto. A gente quer descobrir:
a) Quanto de sal tem no tanque em cada instante de tempo t .
b) Para qual valor a concentração de sal se aproxima quando o tanque está quase vazio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxas de variação e equações diferenciais. Vamos precisar entender como a quantidade de sal muda com o tempo, considerando a entrada e a saída da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo com o volume de líquido no tanque. A água está entrando a 1 litro por minuto e saindo a 2 litros por minuto. Então, a mudança no volume V(t) do tanque é:
dVdt = Entrada - Saída = 1 - 2 = -1 , litro/min í
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de 1 litro por minuto.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o volume V(t) com o tempo t . Sabemos que inicialmente o volume é 100 litros. Como a taxa de mudança do volume é constante (-1 litro/min), podemos escrever:
V(t) = 100 - t
Isso vale até o tanque esvaziar, ou seja, até t = 100 minutos.

Passo 4

Vamos focar na quantidade de sal S(t) no tanque. A entrada de água é pura, então não traz sal. A saída da solução, por sua vez, carrega sal proporcionalmente à concentração atual.
A concentração de sal no tanque em qualquer instante t é:
Concentração = S(t)V(t) = S(t)100 - t çã

Passo 5

Agora, vamos escrever a equação que descreve como S(t) muda com o tempo. A taxa de variação de S(t) é dada por:
dSdt = Taxa de entrada de sal - Taxa de saída de sal í
Como não há entrada de sal, a primeira parte é 0. A taxa de saída de sal é:
Taxa de saída = ( S(t)100 - t ) times 2 í
Então, a equação fica:
dSdt = - 2S(t)100 - t

Passo 6

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjar para separar as variáveis:
dSS(t) = - 2100 - t dt
Agora, integramos ambos os lados:
integral 1S(t) dS = -2 integral 1100 - t dt
A integral da esquerda é ln|S(t)| e a da direita é 2 ln|100 - t| , então temos:
ln S(t) = 2 ln (100 - t) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para S(t) :
S(t) = e^2 ln (100 - t) + C = e^C cdot (100 - t)^2
Podemos escrever e^C como uma nova constante K :
S(t) = K (100 - t)^2
Agora, usamos a condição inicial para encontrar K . Sabemos que, quando t = 0 , S(0) = 10 gramas:
10 = K (100 - 0)^2 Rightarrow K = 1010000 = 0.001

Passo 8

Substituindo K de volta na equação, temos:
S(t) = 0.001 (100 - t)^2
Essa é a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t .

Passo 9

Agora, para a parte b), queremos saber para qual valor a concentração se aproxima quando o tanque está quase vazio. Isso acontece quando t se aproxima de 100 minutos.
A concentração é dada por:
Concentração = S(t)V(t) = 0.001 (100 - t)^2100 - t = 0.001 (100 - t) çã
Quando t se aproxima de 100:
limt to 100 0.001 (100 - t) = 0.001 times 0 = 0 , gramas por litro

Resposta

b) A concentração de sal se aproxima de 0 , gramas por litro quando o tanque está quase vazio.

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