Exercício 2. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque se aproxima de ficar vazio?
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque se aproxima de ficar vazio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque com uma mistura de água e sal. Inicialmente, tem 100 litros de solução e 10 gramas de sal. Água pura está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto a solução está saindo a 2 litros por minuto. A gente quer descobrir:
a) Quanto de sal tem no tanque em cada instante de tempo
.
b) Para qual valor a concentração de sal se aproxima quando o tanque está quase vazio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de taxas de variação e equações diferenciais. Vamos precisar entender como a quantidade de sal muda com o tempo, considerando a entrada e a saída da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo com o volume de líquido no tanque. A água está entrando a 1 litro por minuto e saindo a 2 litros por minuto. Então, a mudança no volume
do tanque é:
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de 1 litro por minuto.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o volume
com o tempo
. Sabemos que inicialmente o volume é 100 litros. Como a taxa de mudança do volume é constante (-1 litro/min), podemos escrever:
Isso vale até o tanque esvaziar, ou seja, até
minutos.
Passo 4
Vamos focar na quantidade de sal
no tanque. A entrada de água é pura, então não traz sal. A saída da solução, por sua vez, carrega sal proporcionalmente à concentração atual.
A concentração de sal no tanque em qualquer instante
é:
Passo 5
Agora, vamos escrever a equação que descreve como
muda com o tempo. A taxa de variação de
é dada por:
Como não há entrada de sal, a primeira parte é 0. A taxa de saída de sal é:
Então, a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral da esquerda é
e a da direita é
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que, quando
,
gramas:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação, temos:
Essa é a quantidade de sal no tanque em qualquer instante
.
Passo 9
Agora, para a parte b), queremos saber para qual valor a concentração se aproxima quando o tanque está quase vazio. Isso acontece quando
se aproxima de 100 minutos.
A concentração é dada por:
Quando
se aproxima de 100:
Resposta
b) A concentração de sal se aproxima de
quando o tanque está quase vazio.