( ) 48. Qual a importância do produto escalar presente na expressão da entrada de calor no volume material, Q=\iint q \cdot n d S ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o papel do produto escalar na expressão da energia térmica que entra num volume material, dada por
Q = \iint_{\partial V} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Aqui vamos usar conceitos de cálculo vetorial (fluxo através de superfície) e termodinâmica (fluxo de calor).

Passo 2

Definimos \mathbf{q} como o vetor densidade de fluxo de calor, que indica a intensidade e direção do fluxo local de calor, e \mathbf{n} como a unidade normal à superfície \partial V, orientada para fora do volume.

Passo 3

O produto escalar \mathbf{q}\cdot\mathbf{n} equivale à projeção de \mathbf{q} na direção de \mathbf{n}:
\mathbf{q}\cdot\mathbf{n} = \|\mathbf{q}\|\;\|\mathbf{n}\|\cos\theta = \|\mathbf{q}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{q} e \mathbf{n}. Assim, apenas o componente normal de \mathbf{q} contribui para o fluxo que atravessa a superfície; o componente tangencial não entra nem sai do volume.

Passo 4

Além disso, a escolha da normal orientada para fora faz com que \mathbf{q}\cdot\mathbf{n} seja positivo se o calor sai do volume e negativo se entra. Esse sinal natural permite calcular o fluxo líquido de calor entrando em V.

Resposta

O produto escalar seleciona o componente do vetor de fluxo de calor perpendicular à superfície e incorpora o sinal de entrada ou saída, garantindo que só o calor atravessando efetivamente o contorno contribua para Q.

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