2.48 • Uma pedra grande é expelida verticalmente de baixo para cima por um vulcão com velocidade inicial de
. Despreze a resistência do ar. (a) Qual é o tempo que a pedra leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de
de baixo para cima? (b) Qual o tempo que a pedra leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de
de cima para baixo? (c) Quando o deslocamento da pedra, a partir de sua posição inicial, é igual a zero? (d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero? (e) Qual o módulo e o sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo de baixo para cima? (ii) Está se movendo de cima para baixo? (iii) Está no ponto mais elevado da sua trajetória? (f) Faça gráficos
e
para o movimento.
Passo 1
O enunciado nos dá uma pedra lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
. Despreza-se a resistência do ar. Adotarei a aceleração da gravidade como
e a convenção de sinais: positiva para cima e negativa para baixo. As perguntas são:
(a) Qual o tempo após o lançamento para que a velocidade seja
para cima?
(b) Qual o tempo após o lançamento para que a velocidade seja para baixo?
(c) Quando o deslocamento da pedra, a partir da posição inicial, é igual a zero?
(d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero?
(e) Qual o módulo e sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo para cima; (ii) está se movendo para baixo; (iii) está no ponto mais alto?
(f) Faça os gráficos vs
,
vs
e
vs
para o movimento (ou seja: escreva as funções e descreva as formas gráficas com os pontos importantes).
(b) Qual o tempo após o lançamento para que a velocidade seja
(c) Quando o deslocamento da pedra, a partir da posição inicial, é igual a zero?
(d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero?
(e) Qual o módulo e sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo para cima; (ii) está se movendo para baixo; (iii) está no ponto mais alto?
(f) Faça os gráficos
Passo 2
Conceitos e equações que vamos usar (mini-aula): em movimento vertical sob gravidade uniforme (sem resistência do ar) as equações cinemáticas, tomando direção para cima como positiva, são:
Explicando cada símbolo:
é a velocidade vertical no instante
,
é a velocidade inicial (aqui
),
é a magnitude da aceleração da gravidade (
),
é o deslocamento vertical a partir da posição inicial (aqui
), e
é a velocidade ao quadrado. A equação
vem direto da definição de aceleração constante:
. A equação para
resulta de integrar
sabendo
.
Passo 3
Resolvendo (a): queremos o instante
tal que
para cima (ou seja
). Usamos
. Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculando:
Interpretação física: esse é o instante na subida em que a velocidade já diminuiu de
para
por ação da gravidade.
Passo 4
Resolvendo (b): agora queremos o instante em que a velocidade é
para baixo, isto é
. Usamos a mesma fórmula
. Substituindo
:
Calculando:
Interpretação física: é o instante na descida, depois que a pedra passou pelo ponto mais alto, quando a velocidade apontando para baixo tem módulo
.
Passo 5
Resolvendo (c): queremos os instantes em que o deslocamento
(volta ao ponto de lançamento). Usamos
Fatorando
:
As soluções são
(instante do lançamento) e
Substituindo valores:
Interpretação: a pedra sobe e depois volta ao ponto inicial ao redor de
depois do lançamento.
Passo 6
Resolvendo (d): queremos
tal que
(ponto mais alto). Da equação
, isolamos
Substituindo:
Podemos também calcular a altura máxima alcançada no ponto em que
usando
ou a fórmula
. Usando a segunda:
Passo 7
Resolvendo (e): aceleração enquanto a pedra realiza o movimento. A aceleração devido à gravidade é constante e igual a
(negativa no nosso sistema de sinais). Portanto o módulo é
e o sentido é sempre para baixo. Especificamente:
(i) enquanto a pedra está subindo: aceleração tem módulo
e sentido para baixo (oposto à velocidade, por isso a velocidade diminui);
(ii) enquanto a pedra está descendo: aceleração tem módulo e sentido para baixo (mesmo sentido da velocidade, por isso a velocidade aumenta em módulo para baixo);
(iii) no ponto mais alto: aceleração tem módulo e sentido para baixo (mesmo instante a velocidade é zero, mas a aceleração não some).
(ii) enquanto a pedra está descendo: aceleração tem módulo
(iii) no ponto mais alto: aceleração tem módulo
Passo 8
Resolvendo (f): escrever as funções e descrever os gráficos.
Funções (com convenção positiva para cima):
Descrição dos gráficos e pontos importantes:
- Gráfico
vs : uma linha horizontal em para todo . (A aceleração é constante.) - Gráfico
vs : reta decrescente com inclinação , intercepto em . Corta o eixo em (ponto mais alto). Valores mencionados: em ; em ; em tem quando retorna ao solo. - Gráfico
vs : parábola concava para baixo (coeficiente de negativo). Intercepto . Vértice (altura máxima) em com . A parábola volta a cortar em (retorno ao solo).
Resposta
(a)
(b)
(c) e
(d)
(e) (i) módulo , sentido para baixo; (ii) módulo
, sentido para baixo; (iii) módulo
, sentido para baixo.
(f) .
.
. Altura máxima
alcançada em
.
(b)
(c)
(d)
(e) (i) módulo
(f)