2.48 • Uma pedra grande é expelida verticalmente de baixo para cima por um vulcão com velocidade inicial de 40,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Despreze a resistência do ar. (a) Qual é o tempo que a pedra leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de baixo para cima? (b) Qual o tempo que a pedra leva, após o lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} de cima para baixo? (c) Quando o deslocamento da pedra, a partir de sua posição inicial, é igual a zero? (d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero? (e) Qual o módulo e o sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo de baixo para cima? (ii) Está se movendo de cima para baixo? (iii) Está no ponto mais elevado da sua trajetória? (f) Faça gráficos a_{y} t, v_{y} t e y t para o movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá uma pedra lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial \,v_0=40,0\\ \mathrm{m/s}\,. Despreza-se a resistência do ar. Adotarei a aceleração da gravidade como \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}\, e a convenção de sinais: positiva para cima e negativa para baixo. As perguntas são:
(a) Qual o tempo após o lançamento para que a velocidade seja \,20,0\\ \mathrm{m/s}\, para cima?
(b) Qual o tempo após o lançamento para que a velocidade seja \,20,0\\ \mathrm{m/s}\, para baixo?
(c) Quando o deslocamento da pedra, a partir da posição inicial, é igual a zero?
(d) Quando a velocidade da pedra é igual a zero?
(e) Qual o módulo e sentido da aceleração enquanto a pedra (i) está se movendo para cima; (ii) está se movendo para baixo; (iii) está no ponto mais alto?
(f) Faça os gráficos a_y vs t, v_y vs t e y vs t para o movimento (ou seja: escreva as funções e descreva as formas gráficas com os pontos importantes).

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (mini-aula): em movimento vertical sob gravidade uniforme (sem resistência do ar) as equações cinemáticas, tomando direção para cima como positiva, são:
v(t)=v_0 - g\,t,
y(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2,
v^2=v_0^2 - 2g\,(y-y_0).
Explicando cada símbolo: \,v(t)\, é a velocidade vertical no instante \,t, \,v_0\, é a velocidade inicial (aqui \,40,0\\ \mathrm{m/s}), \,g\, é a magnitude da aceleração da gravidade ( 9,80\\ \mathrm{m/s^2}), \,y(t)\, é o deslocamento vertical a partir da posição inicial (aqui \,y_0=0), e \,v^2 é a velocidade ao quadrado. A equação v(t)=v_0 - g t vem direto da definição de aceleração constante: \,a=\frac{dv}{dt}=-g. A equação para y(t) resulta de integrar v(t) sabendo y(0)=0.

Passo 3

Resolvendo (a): queremos o instante t tal que \,v(t)=20,0\\ \mathrm{m/s} para cima (ou seja \,v=+20,0). Usamos \,v(t)=v_0 - g t. Isolando t:
t=\frac{v_0 - v}{g}.
Substituindo \,v_0=40,0\\ \mathrm{m/s} e \,v=20,0\\ \mathrm{m/s}:
t=\frac{40,0-20,0}{9,80}=\frac{20,0}{9,80}.
Calculando:
t\approx 2,040816\\ \mathrm{s}\approx 2,04\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: esse é o instante na subida em que a velocidade já diminuiu de 40,0 para 20,0 por ação da gravidade.

Passo 4

Resolvendo (b): agora queremos o instante em que a velocidade é \,20,0\\ \mathrm{m/s} para baixo, isto é \,v=-20,0\\ \mathrm{m/s}. Usamos a mesma fórmula \,t=(v_0-v)/g. Substituindo \,v=-20,0:
t=\frac{40,0-(-20,0)}{9,80}=\frac{60,0}{9,80}.
Calculando:
t\approx 6,122449\\ \mathrm{s}\approx 6,12\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: é o instante na descida, depois que a pedra passou pelo ponto mais alto, quando a velocidade apontando para baixo tem módulo 20,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resolvendo (c): queremos os instantes em que o deslocamento \,y(t)=0 (volta ao ponto de lançamento). Usamos
y(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2}g t^2 = 0.
Fatorando t:
t\big(v_0 - \tfrac{1}{2} g t\big)=0.
As soluções são t=0 (instante do lançamento) e
v_0 - \tfrac{1}{2} g t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2v_0}{g}.
Substituindo valores:
t=\frac{2\cdot 40,0}{9,80}=\frac{80,0}{9,80}\approx 8,163265\\ \mathrm{s}\approx 8,16\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a pedra sobe e depois volta ao ponto inicial ao redor de 8,16\\ \mathrm{s} depois do lançamento.

Passo 6

Resolvendo (d): queremos t tal que v(t)=0 (ponto mais alto). Da equação \,v(t)=v_0 - g t, isolamos
t=\frac{v_0}{g}.
Substituindo:
t=\frac{40,0}{9,80}\approx 4,081633\\ \mathrm{s}\approx 4,08\\ \mathrm{s}.
Podemos também calcular a altura máxima alcançada no ponto em que v=0 usando \,y_{\max}=v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2 ou a fórmula \,y_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}. Usando a segunda:
y_{\max}=\frac{40,0^2}{2\cdot 9,80}=\frac{1600}{19,6}\approx 81,632653\\ \mathrm{m}\approx 81,63\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resolvendo (e): aceleração enquanto a pedra realiza o movimento. A aceleração devido à gravidade é constante e igual a \, -g (negativa no nosso sistema de sinais). Portanto o módulo é \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} e o sentido é sempre para baixo. Especificamente:
(i) enquanto a pedra está subindo: aceleração tem módulo \,9,80\\ \mathrm{m/s^2} e sentido para baixo (oposto à velocidade, por isso a velocidade diminui);
(ii) enquanto a pedra está descendo: aceleração tem módulo \,9,80\\ \mathrm{m/s^2} e sentido para baixo (mesmo sentido da velocidade, por isso a velocidade aumenta em módulo para baixo);
(iii) no ponto mais alto: aceleração tem módulo \,9,80\\ \mathrm{m/s^2} e sentido para baixo (mesmo instante a velocidade é zero, mas a aceleração não some).

Passo 8

Resolvendo (f): escrever as funções e descrever os gráficos.
Funções (com convenção positiva para cima):
a_y(t) = -9,80\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(constante)}.
v_y(t) = 40,0 - 9,80\,t\\ \mathrm{m/s}.
y(t) = 40,0\,t - 4,90\,t^2\\ \mathrm{m}.
Descrição dos gráficos e pontos importantes:
  • Gráfico a_y vs t: uma linha horizontal em -9,80\\ \mathrm{m/s^2} para todo t\ge 0. (A aceleração é constante.)
  • Gráfico v_y vs t: reta decrescente com inclinação -9,80\\ \mathrm{m/s^2}, intercepto em v_y(0)=40,0\\ \mathrm{m/s}. Corta o eixo v=0 em t=4,08\\ \mathrm{s} (ponto mais alto). Valores mencionados: v=+20,0\\ \mathrm{m/s} em t\approx 2,04\\ \mathrm{s}; v=-20,0\\ \mathrm{m/s} em t\approx 6,12\\ \mathrm{s}; em t\approx 8,16\\ \mathrm{s} tem v\approx -40,0\\ \mathrm{m/s} quando retorna ao solo.
  • Gráfico y vs t: parábola concava para baixo (coeficiente de t^2 negativo). Intercepto y(0)=0. Vértice (altura máxima) em t=4,08\\ \mathrm{s} com y_{\max}\approx 81,63\\ \mathrm{m}. A parábola volta a cortar y=0 em t=8,16\\ \mathrm{s} (retorno ao solo).

Resposta

(a) t\approx 2,04\\ \mathrm{s}.
(b) t\approx 6,12\\ \mathrm{s}.
(c) t=0 e t\approx 8,16\\ \mathrm{s}.
(d) t\approx 4,08\\ \mathrm{s}.
(e) (i) módulo 9,80\\ \mathrm{m/s^2}, sentido para baixo; (ii) módulo 9,80\\ \mathrm{m/s^2}, sentido para baixo; (iii) módulo 9,80\\ \mathrm{m/s^2}, sentido para baixo.
(f) a_y(t)=-9,80\\ \mathrm{m/s^2}. v_y(t)=40,0-9,80\,t\\ \mathrm{m/s}. y(t)=40,0\,t-4,90\,t^2\\ \mathrm{m}. Altura máxima y_{\max}\approx 81,63\\ \mathrm{m} alcançada em t\approx 4,08\\ \mathrm{s}.

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