Questäo 1) Um bloco de massa \mathrm{m}=2,0 \mathrm{~kg} move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por x(t)=-2,0-3,0 t+\frac{1}{2} t^{3}, para o tempo dado em segundos.
a) (0,5) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=2.
b) (1,0) Calcule a velocidade média e aceleração média do bloco no intervalo 0 \leq \mathrm{t} \leq 2 \mathrm{~s}.
c) (1,0) Em que instante o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória? Qual a posição da partícula neste instante?
d) (0,5) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre a partícula no instante t=3 \mathrm{~s}. Esta força varia ao longo do tempo?

Passo 1

O enunciado dá a posição do bloco ao longo do eixo x como
x(t) = -2,0 - 3,0\,t + \frac{1}{2}\,t^{3},
com t em segundos e x em metros, e a massa do bloco é m=2,0\\ \mathrm{kg}. As perguntas são:
  1. (a) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração para t=0 e para t=2.
  2. (b) Calcular a velocidade média e a aceleração média no intervalo 0\le t\le 2.
  3. (c) Determinar o instante em que o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória e a posição nesse instante.
  4. (d) Calcular o módulo e o sentido da força em t=3\\ \mathrm{s} e dizer se a força varia com o tempo.

Passo 2

Vamos obter as expressões para velocidade e aceleração a partir de x(t). Aqui preciso diferenciar a posição em relação ao tempo. Regras usadas:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de a\,t é a.
  • A derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}.
Aplicando isso a
x(t) = -2,0 - 3,0\,t + \frac{1}{2}\,t^{3},
temos a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} e a aceleração a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.

Passo 3

Calculemos v(t). Derivando termo a termo:
  • Derivada de -2,0 é 0.
  • Derivada de -3,0\,t é -3,0.
  • Derivada de \dfrac{1}{2}\,t^{3} é \dfrac{1}{2}\cdot 3\,t^{2}=\dfrac{3}{2}\,t^{2}.
Portanto,
v(t) = -3,0 + \frac{3}{2}\,t^{2}.

Passo 4

Calculemos a(t). Derivando v(t):
  • Derivada de -3,0 é 0.
  • Derivada de \dfrac{3}{2}\,t^{2} é \dfrac{3}{2}\cdot 2\,t = 3\,t.
Logo,
a(t) = 3\,t.

Passo 5

Agora avaliamos posição, velocidade e aceleração em t=0.
  • Posição: \;x(0) = -2,0 - 3,0\cdot 0 + \dfrac{1}{2}\cdot 0^{3} = -2,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade: \;v(0) = -3,0 + \dfrac{3}{2}\cdot 0^{2} = -3,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração: \;a(0) = 3\cdot 0 = 0,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Expliquei cada substituição para você poder refazer na prova: é só pôr t=0 nas fórmulas que já achamos.

Passo 6

Agora avaliamos em t=2.
  • Posição: calcule passo a passo x(2) = -2,0 - 3,0\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot 2^{3}.Primeiro -3,0\cdot 2 = -6,0. Depois 2^{3}=8 e \dfrac{1}{2}\cdot 8 = 4,0. Então x(2) = -2,0 -6,0 +4,0 = -4,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade: v(2) = -3,0 + \frac{3}{2}\cdot 2^{2} = -3,0 + \frac{3}{2}\cdot 4 = -3,0 +6,0 = 3,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração: a(2) = 3\cdot 2 = 6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

(b) Definições e cálculos das médias:
  • A velocidade média no intervalo [t_{1},t_{2}] é
    \bar{v} = \frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
    Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Usando x(2)=-4,0 e x(0)=-2,0,
    \bar{v} = \frac{-4,0 - (-2,0)}{2-0} = \frac{-2,0}{2} = -1,0\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração média é definida como variação da velocidade sobre o intervalo:
    \bar{a} = \frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
    Usando v(2)=3,0 e v(0)=-3,0,
    \bar{a} = \frac{3,0 - (-3,0)}{2} = \frac{6,0}{2} = 3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

(c) Para achar o ponto mais negativo da trajetória procuramos um extremo de x(t). Um extremo (mínimo ou máximo) ocorre quando a velocidade é zero: v(t)=0. Então resolvemos
-3,0 + \frac{3}{2}\,t^{2} = 0.
Isolando t^{2}:
\frac{3}{2}\,t^{2} = 3,0 \quad\Rightarrow\quad t^{2} = \frac{3,0}{3/2} = 2,0.
Portanto t = \pm \sqrt{2}. Como o tempo físico t\ge 0, tomamos
t = \sqrt{2}\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Precisamos verificar que esse instante é de fato um mínimo (ponto mais negativo). Usamos a segunda derivada (a aceleração): se a(t)>0 o extremo é mínimo. Aqui
a\bigl(\sqrt{2}\bigr) = 3\,\sqrt{2} > 0,
portanto é um mínimo: o ponto mais negativo da trajetória ocorre em t=\sqrt{2}\\ \mathrm{s}.
Agora calculamos a posição nesse instante. Substituindo t=\sqrt{2} em x(t):
x\bigl(\sqrt{2}\bigr) = -2,0 - 3,0\,\sqrt{2} + \frac{1}{2}\,(\sqrt{2})^{3}.
Como (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}, temos
x\bigl(\sqrt{2}\bigr) = -2,0 - 3,0\,\sqrt{2} + \frac{1}{2}\cdot 2\,\sqrt{2} = -2,0 -3,0\,\sqrt{2} + \sqrt{2} = -2,0 -2,0\,\sqrt{2}.
Valor numérico aproximado: \sqrt{2}\approx 1,4142, então
x\bigl(\sqrt{2}\bigr) \approx -2,0 -2,0\cdot 1,4142 \approx -4,8284\\ \mathrm{m}.

Passo 10

(d) A força resultante que atua sobre a partícula é dada pela segunda lei de Newton:
\vec{F}(t) = m\,\vec{a}(t).
Como o movimento é unidimensional ao longo de x, podemos trabalhar com os sinais escalares. Em t=3\\ \mathrm{s}:
a(3) = 3\cdot 3 = 9,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Com m=2,0\\ \mathrm{kg},
F(3) = m\,a(3) = 2,0\cdot 9,0 = 18,0\\ \mathrm{N}.
Sentido: a(3)>0 então a força aponta no sentido positivo do eixo x (para a direita).
Quanto à variação no tempo: como a(t)=3t depende de t, a força
F(t) = m\,a(t) = m\cdot 3t = 3m\,t
é uma função linear de t. Com m=2,0 temos F(t)=6,0\,t\\ \mathrm{N}, logo a força aumenta com o tempo (não é constante).

Resposta

(a) t=0:\;x(0)=-2,0\\ \mathrm{m},\;v(0)=-3,0\\ \mathrm{m/s},\;a(0)=0,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
t=2:\;x(2)=-4,0\\ \mathrm{m},\;v(2)=3,0\\ \mathrm{m/s},\;a(2)=6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(b) \bar{v}=-1,0\\ \mathrm{m/s},\;\bar{a}=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(c) Instante t=\sqrt{2}\\ \mathrm{s}. Posição x(\sqrt{2})=-2,0-2,0\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx -4,83\\ \mathrm{m}.
(d) F(3)=18,0\\ \mathrm{N}, sentido para o +\!x (para a direita). A força varia no tempo: F(t)=6,0\,t\\ \mathrm{N} (varia linearmente).

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