Questäo 1) Um bloco de massa
move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por
, para o tempo dado em segundos.
a)
Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para
e
.
b)
Calcule a velocidade média e aceleração média do bloco no intervalo
.
c)
Em que instante o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória? Qual a posição da partícula neste instante?
d)
Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre a partícula no instante
. Esta força varia ao longo do tempo?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a posição do bloco ao longo do eixo
como
com
em segundos e
em metros, e a massa do bloco é
. As perguntas são:
- (a) Calcular a posição, a velocidade e a aceleração para
e para . - (b) Calcular a velocidade média e a aceleração média no intervalo
. - (c) Determinar o instante em que o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória e a posição nesse instante.
- (d) Calcular o módulo e o sentido da força em
e dizer se a força varia com o tempo.
Passo 2
Vamos obter as expressões para velocidade e aceleração a partir de
. Aqui preciso diferenciar a posição em relação ao tempo. Regras usadas:
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando isso a
temos a velocidade
e a aceleração
.
Passo 3
Calculemos
. Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Calculemos
. Derivando
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo,
Passo 5
Agora avaliamos posição, velocidade e aceleração em
.
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Expliquei cada substituição para você poder refazer na prova: é só pôr
nas fórmulas que já achamos.
Passo 6
Agora avaliamos em
.
- Posição: calcule passo a passo
Primeiro . Depois e . Então - Velocidade:
- Aceleração:
Passo 7
(b) Definições e cálculos das médias:
-
A velocidade média no intervalo
é Aquie . Usando e , -
A aceleração média é definida como variação da velocidade sobre o intervalo:Usando
e ,
Passo 8
(c) Para achar o ponto mais negativo da trajetória procuramos um extremo de
. Um extremo (mínimo ou máximo) ocorre quando a velocidade é zero:
. Então resolvemos
Isolando
:
Portanto
. Como o tempo físico
, tomamos
Passo 9
Precisamos verificar que esse instante é de fato um mínimo (ponto mais negativo). Usamos a segunda derivada (a aceleração): se
o extremo é mínimo. Aqui
portanto é um mínimo: o ponto mais negativo da trajetória ocorre em
.
Agora calculamos a posição nesse instante. Substituindo
em
:
Como
, temos
Valor numérico aproximado:
, então
Passo 10
(d) A força resultante que atua sobre a partícula é dada pela segunda lei de Newton:
Como o movimento é unidimensional ao longo de
, podemos trabalhar com os sinais escalares. Em
:
Com
,
Sentido:
então a força aponta no sentido positivo do eixo
(para a direita).
Quanto à variação no tempo: como
depende de
, a força
é uma função linear de
. Com
temos
, logo a força aumenta com o tempo (não é constante).
Resposta
(a)
(b)
(c) Instante
. Posição
(d)
, sentido para o
(para a direita). A força varia no tempo:
(varia linearmente).