1.48
Qual é a relação entre ampliação longitudinal (definida por m_{\ell}=\frac{d i}{d o} ) e ampliação transversal (dada por m=-\frac{i}{o} )?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre a ampliação longitudinal, definida por m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o}, e a ampliação transversal, definida por m=-\dfrac{i}{o}.
Informações dadas explicitamente:
  • m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o} (variação infinitesimal da posição da imagem em função da variação da posição do objeto);
  • m=-\dfrac{i}{o} (ampliação lateral ou transversal, com i distância da imagem e o distância do objeto).
    As incógnitas são a relação analítica entre m_{\ell} e m.

Passo 2

Relação básica de formação de imagem (fórmula de Gauss para lente delgada / sistema de imaging na aproximação paraxial):
\frac{1}{o}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f},
onde o é a distância do objeto ao elemento óptico, i é a distância da imagem ao elemento óptico e f é a distância focal (constante para o sistema). Aqui assume-se que f é constante (sistema fixo) e que estamos na aproximação paraxial (pequenas inclinações).
Agora vamos diferenciar essa equação em relação a o. Explicando a diferenciação: a derivada de \dfrac{1}{o} em relação a o é -\dfrac{1}{o^{2}}. Para \dfrac{1}{i}, como i depende de o, usa-se a regra da cadeia: a derivada é -\dfrac{1}{i^{2}}\dfrac{d i}{d o}. A derivada de \dfrac{1}{f} é zero porque f é constante.
Diferenciando:
-\frac{1}{o^{2}}-\frac{1}{i^{2}}\frac{d i}{d o}=0.

Passo 3

Isolando \dfrac{d i}{d o} obtemos:
\frac{d i}{d o}=\frac{i^{2}}{o^{2}}.
Este é o valor da ampliação longitudinal em termos de i e o.

Passo 4

Usando a definição da ampliação transversal m=-\dfrac{i}{o}, elevando ao quadrado:
m^{2}=\left(-\frac{i}{o}\right)^{2}=\frac{i^{2}}{o^{2}}.
Comparando com o resultado do passo anterior encontramos a relação desejada:
m_{\ell}=\frac{d i}{d o}=m^{2}.

Passo 5

Interpretação física e comentários: a ampliação longitudinal é o quadrado da ampliação transversal. Observações úteis para prova:
  • m_{\ell} é positiva mesmo quando m é negativo (por exemplo, para imagens reais invertidas m<0), porque aparece o quadrado; isto significa que pequenos deslocamentos do objeto provocam deslocamentos da imagem no mesmo sentido axial (ambos aumentam ou diminuem) com ganho dado por m^{2} em módulo.
  • A relação vale na aproximação paraxial e quando a relação \dfrac{1}{o}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f} se aplica (lente delgada ou sistema que obedece à equação de Gauss).
    Exemplo numérico rápido: se i=60\\ \text{cm} e o=30\\ \text{cm} então m=-2 e m_{\ell}=(-2)^{2}=4. Isso significa que um pequeno deslocamento \Delta o do objeto causa \Delta i\approx 4\,\Delta o.

Resposta

m_{\ell}=m^{2}

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