1.48
Qual é a relação entre ampliação longitudinal (definida por
) e ampliação transversal (dada por
)?
Passo 1
O enunciado pede a relação entre a ampliação longitudinal, definida por
, e a ampliação transversal, definida por
.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
-
(variação infinitesimal da posição da imagem em função da variação da posição do objeto); -
(ampliação lateral ou transversal, com distância da imagem e distância do objeto).
As incógnitas são a relação analítica entree .
Passo 2
Relação básica de formação de imagem (fórmula de Gauss para lente delgada / sistema de imaging na aproximação paraxial):
onde
é a distância do objeto ao elemento óptico,
é a distância da imagem ao elemento óptico e
é a distância focal (constante para o sistema). Aqui assume-se que
é constante (sistema fixo) e que estamos na aproximação paraxial (pequenas inclinações).
Agora vamos diferenciar essa equação em relação a
. Explicando a diferenciação: a derivada de
em relação a
é
. Para
, como
depende de
, usa-se a regra da cadeia: a derivada é
. A derivada de
é zero porque
é constante.
Diferenciando:
Passo 3
Isolando
obtemos:
Este é o valor da ampliação longitudinal em termos de
e
.
Passo 4
Usando a definição da ampliação transversal
, elevando ao quadrado:
Comparando com o resultado do passo anterior encontramos a relação desejada:
Passo 5
Interpretação física e comentários: a ampliação longitudinal é o quadrado da ampliação transversal. Observações úteis para prova:
-
é positiva mesmo quando é negativo (por exemplo, para imagens reais invertidas ), porque aparece o quadrado; isto significa que pequenos deslocamentos do objeto provocam deslocamentos da imagem no mesmo sentido axial (ambos aumentam ou diminuem) com ganho dado por em módulo. - A relação vale na aproximação paraxial e quando a relação
se aplica (lente delgada ou sistema que obedece à equação de Gauss).
Exemplo numérico rápido: see então e . Isso significa que um pequeno deslocamento do objeto causa .