1.47
Determine em que ponto do eixo de um espelho côncavo devemos colocar um objeto para que a imagem se torne num ponto tal que i=0.

Passo 1

O enunciado pede: colocar um objeto sobre o eixo de um espelho côncavo de modo que a imagem fique em um ponto tal que i=0.
Informações e incógnitas relevantes que temos:
  • O espelho é côncavo e possui uma distância focal que chamaremos de f (valor qualquer, não fornecido).
  • p será a distância do objeto ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo).
  • i é a distância da imagem ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo). A condição desejada é i=0.
    O objetivo: encontrar o valor de p que produz i=0.

Passo 2

Apresentar e entender a equação dos espelhos esféricos (fórmula que relaciona objeto, imagem e foco). A fórmula padrão (para aproximação paraxial) é
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}.
Explicando cada símbolo:
  • p é a distância do objeto ao vértice do espelho (unidade de comprimento);
  • i é a distância da imagem ao vértice do espelho (unidade de comprimento);
  • f é a distância focal do espelho (unidade de comprimento).
    Essa equação vem da construção geométrica de raios para espelhos esféricos e é a relação que se usa em provas para calcular onde a imagem vai aparecer a partir da posição do objeto.

Passo 3

Isolar i em função de p e f para poder impor i=0. A partir de
\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}
subtrai-se \dfrac{1}{p} e inverte-se:
\frac{1}{i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}=\frac{p-f}{pf}.
Invertendo obtemos a expressão explícita
i=\frac{pf}{\,p-f\,}.

Passo 4

Agora impomos a condição i=0. A equação
i=\frac{pf}{\,p-f\,}=0
é satisfeita quando o numerador for zero (desde que o denominador seja finito), ou seja quando
pf=0 \quad\Rightarrow\quad p=0,
já que f\neq0 para um espelho com curvatura. Logo a solução algébrica é p=0.

Passo 5

Interpretação física: p=0 significa colocar o objeto no vértice do espelho, isto é, sobre a superfície refletora. Nesse caso cada ponto do objeto coincide com a superfície refletora e a “imagem” também coincide com o objeto (a distância óptica da imagem ao vértice é i=0). A fórmula dos espelhos fica formalmente singular em p=0, mas a análise algébrica mostra que a posição desejada é exatamente o vértice.

Passo 6

Comentário prático e incentivo: na prova, basta lembrar da fórmula \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f}, isolar i e ver que, para i=0, precisa de p=0. Ou seja, coloque o objeto na superfície (vértice) do espelho côncavo. Força aí — você consegue!

Resposta

No vértice do espelho (sobre a superfície), isto é p=0.

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