1.47
Determine em que ponto do eixo de um espelho côncavo devemos colocar um objeto para que a imagem se torne num ponto tal que
.
Passo 1
O enunciado pede: colocar um objeto sobre o eixo de um espelho côncavo de modo que a imagem fique em um ponto tal que
.
Informações e incógnitas relevantes que temos:
Informações e incógnitas relevantes que temos:
- O espelho é côncavo e possui uma distância focal que chamaremos de
(valor qualquer, não fornecido). -
será a distância do objeto ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo). -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (medida ao longo do eixo). A condição desejada é .
O objetivo: encontrar o valor deque produz .
Passo 2
Apresentar e entender a equação dos espelhos esféricos (fórmula que relaciona objeto, imagem e foco). A fórmula padrão (para aproximação paraxial) é
Explicando cada símbolo:
-
é a distância do objeto ao vértice do espelho (unidade de comprimento); -
é a distância da imagem ao vértice do espelho (unidade de comprimento); -
é a distância focal do espelho (unidade de comprimento).
Essa equação vem da construção geométrica de raios para espelhos esféricos e é a relação que se usa em provas para calcular onde a imagem vai aparecer a partir da posição do objeto.
Passo 3
Isolar
em função de
e
para poder impor
. A partir de
subtrai-se
e inverte-se:
Invertendo obtemos a expressão explícita
Passo 4
Agora impomos a condição
. A equação
é satisfeita quando o numerador for zero (desde que o denominador seja finito), ou seja quando
já que
para um espelho com curvatura. Logo a solução algébrica é
.
Passo 5
Interpretação física:
significa colocar o objeto no vértice do espelho, isto é, sobre a superfície refletora. Nesse caso cada ponto do objeto coincide com a superfície refletora e a “imagem” também coincide com o objeto (a distância óptica da imagem ao vértice é
). A fórmula dos espelhos fica formalmente singular em
, mas a análise algébrica mostra que a posição desejada é exatamente o vértice.
Passo 6
Comentário prático e incentivo: na prova, basta lembrar da fórmula
, isolar
e ver que, para
, precisa de
. Ou seja, coloque o objeto na superfície (vértice) do espelho côncavo. Força aí — você consegue!
Resposta
No vértice do espelho (sobre a superfície), isto é
.