Um capacitor de placas paralelas, com capacitância
, no vácuo, é carregado por uma bateria de tensão V até armazenar uma carga
. A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado) e um dielétrico de constante dielétrica
é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Após a inserção completa do dielétrico, determine em termos de
e
:
(a) A nova capacitância;
(a) A nova capacitância;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Um capacitor de placas paralelas, no vácuo, tem capacitância inicial
. - O capacitor é ligado a uma bateria de tensão
e, após carregar, armazena carga . - A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado).
- Um dielétrico com constante dielétrica
é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. - Pergunta (a): determinar a nova capacitância após a inserção do dielétrico, escrevendo o resultado em termos de
, e .
Observações extraídas do enunciado:
; o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas; a bateria foi desligada (essa informação é relevante para carga/tensão, mas não para a definição da capacitância em si).
Passo 2
Relembrando o que é capacitância (aula rápida, passo a passo): a capacitância
de um capacitor é uma medida de quanto de carga ele armazena por unidade de diferença de potencial entre as placas. A definição matemática é
onde
é a carga em uma placa e
é a diferença de potencial entre as placas. Aqui cada símbolo significa:
-
: capacitância do capacitor (em farads), -
: carga elétrica em uma das placas (em coulombs), -
: diferença de potencial (em volts).
Para um capacitor de placas paralelas com área das placas
e separação
no vácuo, a capacitância é dada por
onde
é a permissividade do vácuo. Quando inserimos um dielétrico homogêneo entre as placas, a permissividade do meio passa a ser
, onde
é a constante dielétrica do material. Assim, a nova capacitância com o dielétrico preenchendo todo o espaço fica
Passo 3
Usando as expressões do passo anterior, vemos que a nova capacitância se relaciona com a antiga por um fator
:
Isto é porque
e
, logo
.
Como no enunciado
, substituímos:
Passo 4
Mostro também a forma em termos de
e
, já que o enunciado pediu expressões envolvendo
. Inicialmente, enquanto a bateria esteve conectada, valeu
Isolado (após desligar a bateria) a carga sobre o capacitor permanece
, mas isso não altera a definição da capacitância — apenas a relação carga/tensão muda. Substituindo
na expressão
, obtemos