Um capacitor de placas paralelas, com capacitância \mathrm{C}_{0}, no vácuo, é carregado por uma bateria de tensão V até armazenar uma carga \mathrm{Q}_{0}. A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado) e um dielétrico de constante dielétrica \mathrm{k}=4 é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Após a inserção completa do dielétrico, determine em termos de \mathrm{C}_{0}, \mathrm{~V} e \mathrm{Q}_{0} :
(a) A nova capacitância;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Um capacitor de placas paralelas, no vácuo, tem capacitância inicial \mathrm{C}_{0}.
  • O capacitor é ligado a uma bateria de tensão \mathrm{V} e, após carregar, armazena carga \mathrm{Q}_{0}.
  • A bateria é então desligada (o capacitor fica isolado).
  • Um dielétrico com constante dielétrica \mathrm{k}=4 é inserido, preenchendo completamente o espaço entre as placas.
  • Pergunta (a): determinar a nova capacitância após a inserção do dielétrico, escrevendo o resultado em termos de \mathrm{C}_{0}, \mathrm{V} e \mathrm{Q}_{0}.
Observações extraídas do enunciado: \mathrm{k}=4; o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas; a bateria foi desligada (essa informação é relevante para carga/tensão, mas não para a definição da capacitância em si).

Passo 2

Relembrando o que é capacitância (aula rápida, passo a passo): a capacitância \mathrm{C} de um capacitor é uma medida de quanto de carga ele armazena por unidade de diferença de potencial entre as placas. A definição matemática é
\mathrm{C}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}},
onde \mathrm{Q} é a carga em uma placa e \mathrm{V} é a diferença de potencial entre as placas. Aqui cada símbolo significa:
  • \mathrm{C}: capacitância do capacitor (em farads),
  • \mathrm{Q}: carga elétrica em uma das placas (em coulombs),
  • \mathrm{V}: diferença de potencial (em volts).
Para um capacitor de placas paralelas com área das placas A e separação d no vácuo, a capacitância é dada por
\mathrm{C}_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Quando inserimos um dielétrico homogêneo entre as placas, a permissividade do meio passa a ser \varepsilon=\mathrm{k}\varepsilon_0, onde \mathrm{k} é a constante dielétrica do material. Assim, a nova capacitância com o dielétrico preenchendo todo o espaço fica
\mathrm{C}=\frac{\varepsilon A}{d}=\frac{\mathrm{k}\varepsilon_0 A}{d}.

Passo 3

Usando as expressões do passo anterior, vemos que a nova capacitância se relaciona com a antiga por um fator \mathrm{k}:
\mathrm{C}=\mathrm{k}\,\mathrm{C}_0.
Isto é porque \mathrm{C}_0=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d} e \mathrm{C}=\dfrac{\mathrm{k}\varepsilon_0 A}{d}, logo \mathrm{C}=\mathrm{k}\mathrm{C}_0.
Como no enunciado \mathrm{k}=4, substituímos:
\mathrm{C}=4\,\mathrm{C}_0.

Passo 4

Mostro também a forma em termos de \mathrm{Q}_{0} e \mathrm{V}, já que o enunciado pediu expressões envolvendo \mathrm{C}_0,\mathrm{V},\mathrm{Q}_0. Inicialmente, enquanto a bateria esteve conectada, valeu
\mathrm{Q}_0=\mathrm{C}_0\,\mathrm{V}.
Isolado (após desligar a bateria) a carga sobre o capacitor permanece \mathrm{Q}_0, mas isso não altera a definição da capacitância — apenas a relação carga/tensão muda. Substituindo \mathrm{C}_0=\dfrac{\mathrm{Q}_0}{\mathrm{V}} na expressão \mathrm{C}=4\mathrm{C}_0, obtemos
\mathrm{C}=4\,\frac{\mathrm{Q}_0}{\mathrm{V}}.

Resposta

\mathrm{C}=4\,\mathrm{C}_0
\mathrm{C}=4\,\dfrac{\mathrm{Q}_0}{\mathrm{V}}

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