Dada a equação diferencial
d yd x=52 e^5 x-2 y
Encontre a solução geral da mesma.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx = 52 e^5x-2y. O conteúdo envolve equações diferenciais separáveis e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis seguida de integração.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^2y e por dx, obtendo uma expressão em que só aparece y de um lado e só x do outro. Fica assim:
e^2y,dy = 52e^5x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy = integral 52e^5x,dx
No lado esquerdo, integral e^2y,dy = tfrac12 e^2y.
No lado direito, integral 52e^5x,dx = 52 cdot 15e^5x = tfrac12e^5x.
Incluindo a constante de integração C, temos:
tfrac12e^2y = tfrac12e^5x + C

Passo 4

Multiplicando por 2 e isolando y, obtemos
e^2y = e^5x + C1
e tomando logaritmo natural,
2y = lnl(e^5x+C1r) Longrightarrow y = 12lnl(e^5x+C1r)

Resposta

A solução geral é
y(x)=12lnl(e^5x+Cr),
onde C é a constante de integração.

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