1-49 Calcule a integral.
integral0^x / 2 sen^7 theta cos ^5 theta d theta

Passo 1

Na questão, precisamos calcular a integral integral0^x/2sen^7theta,cos^5theta,dtheta. O conteúdo é integração de potências de sin e cos, e vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Repare que o expoente de cos é ímpar. Podemos separar um fator costheta,dtheta para usar a substituição u=sentheta. Escrevemos cos^5theta=cos^4thetacdotcostheta e aplicamos cos^2theta=1-sin^2theta, obtendo cos^4theta=(1-sin^2theta)^2.

Passo 3

Fazendo a troca de variável u=sentheta implica du=costheta,dtheta. Os limites também mudam: quando theta=0, u=0; e quando theta=tfrac x2, u=sen(tfrac x2). A integral passa a ser
integral0^sen(x/2)u^7(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o integrando usando (1-u^2)^2=1-2u^2+u^4:
u^7(1-u^2)^2=u^7-2u^9+u^11

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral u^7du=u^88, integral(-2u^9)du=-u^105, integral u^11du=u^1212
A primitiva geral é
u^88-u^105+u^1212

Passo 6

Voltando à variável theta e aplicando os limites de 0 a x/2, obtemos
[sen^8theta8-sen^10theta5+sen^12theta12]0^x/2
Como em theta=0 todas as potências de sin valem zero, a expressão final fica avaliada em theta=tfrac x2.

Resposta

sen^8(tfrac x2)8-sen^10(tfrac x2)5+sen^12(tfrac x2)12

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