Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=2^+infty(-1)^n (x-3)^nn(n-1)

Passo 1

Resumo da questão: temos a função dada por
f(x)=sumn=2^infty(-1)^n(x-3)^nn(n-1)
Precisamos: (a) encontrar o raio de convergência R de f e seu domínio; (b) derivar termo a termo para obter a série de f’ e achar seu raio de convergência; © determinar o domínio de f’. Vamos usar teste da raiz/razão e o Teorema 13.2.1 sobre diferenciação de séries de potências.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência de f: aplicando o teste da raiz, analisamos
limntoinftyraiz[n]|(-1)^n1n(n-1)| = limntoinfty1(n(n-1))^1/n = 1
Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Determinação do domínio de f: a série converge para |x-3|<1, ou seja em (2,4). Nos extremos:
  • em x=2 temos (x-3)=-1 e a série vira sumn=2^infty1/(n(n-1)), que é telescópica e converge;
  • em x=4 temos (x-3)=1 e a série sumn=2^infty(-1)^n/(n(n-1)) é alternada com termos decrescentes a zero, convergindo pelo critério de Leibniz.
    Portanto o domínio de f é [2,4].

Passo 4

Derivação termo a termo: aplicando d/dx em cada termo,
f'(x)=sumn=2^infty(-1)^nn(x-3)^n-1n(n-1) = sumn=2^infty(-1)^n(x-3)^n-1n-1
Trocando o índice m=n-1 (m vai de 1 a ∞), obtemos
f'(x)=summ=1^infty(-1)^m+1(x-3)^mm

Passo 5

Raio de convergência de f’: pelo mesmo teste da raiz ou pelo Teorema 13.2.1, que garante que derivar não altera R, concluímos R’=1.

Passo 6

Determinação do domínio de f’: a convergência é para |x-3|<1, ou seja (2,4). Nos extremos:
  • em x=2 (x-3)=-1 a série fica summ=1^infty-1m, que diverge;
  • em x=4 (x-3)=1 a série summ=1^infty(-1)^m+1/m é alternada e converge.
    Logo o domínio de f’ é (2,4].

Resposta

(a) Raio de convergência R=1 e domínio de f = [2,4]. (b) f’(x)= summ=1^infty(-1)^m+1(x-3)^mm, raio de convergência R’=1. © domínio de f’ = (2,4].

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