Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de
.
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
Passo 1
Resumo da questão: temos a função dada por
Precisamos: (a) encontrar o raio de convergência R de f e seu domínio; (b) derivar termo a termo para obter a série de f’ e achar seu raio de convergência; © determinar o domínio de f’. Vamos usar teste da raiz/razão e o Teorema 13.2.1 sobre diferenciação de séries de potências.
Passo 2
Cálculo do raio de convergência de f: aplicando o teste da raiz, analisamos
Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Determinação do domínio de f: a série converge para |x-3|<1, ou seja em (2,4). Nos extremos:
- em x=2 temos (x-3)=-1 e a série vira
, que é telescópica e converge;sumn=2^infty1/(n(n-1)) - em x=4 temos (x-3)=1 e a série
é alternada com termos decrescentes a zero, convergindo pelo critério de Leibniz.sumn=2^infty(-1)^n/(n(n-1))
Portanto o domínio de f é [2,4].
Passo 4
Derivação termo a termo: aplicando d/dx em cada termo,
Trocando o índice m=n-1 (m vai de 1 a ∞), obtemos
Passo 5
Raio de convergência de f’: pelo mesmo teste da raiz ou pelo Teorema 13.2.1, que garante que derivar não altera R, concluímos R’=1.
Passo 6
Determinação do domínio de f’: a convergência é para |x-3|<1, ou seja (2,4). Nos extremos:
- em x=2 (x-3)=-1 a série fica
, que diverge;summ=1^infty-1m - em x=4 (x-3)=1 a série
é alternada e converge.summ=1^infty(-1)^m+1/m
Logo o domínio de f’ é (2,4].
Resposta
(a) Raio de convergência R=1 e domínio de f = [2,4]. (b) f’(x)=
summ=1^infty(-1)^m+1(x-3)^mm , raio de convergência R’=1. © domínio de f’ = (2,4].