Derive termo a termo a série encontrada na parte (a), a fim de achar uma representação em série de potências para 2(1-2 x)^2.

Passo 1

O enunciado pede para obter uma série de potências para tfrac2(1-2x)^2 a partir da série que encontramos na parte (a), que é a expansão geométrica de tfrac11-2x. Vamos usar derivação termo a termo.

Passo 2

A teoria envolvida é que, dentro do raio de convergência, podemos derivar uma série de potências termo a termo. Sabemos que
11-2x=sumn=0^infty2^n x^n
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(11-2xr)=ddxsumn=0^infty2^n x^n

Passo 3

No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
ddxl(11-2xr)=2(1-2x)^2
No lado direito, derivando termo a termo:
ddxsumn=0^infty2^n x^n=sumn=1^inftyn,2^n x^n-1

Passo 4

Igualando as duas expressões, obtemos
2(1-2x)^2=sumn=1^inftyn,2^n x^n-1
Para escrever como uma série em potências de x^k, reindexamos: seja k=n-1, então n=k+1 e quando n=1 temos k=0. Assim:
2(1-2x)^2=sumk=0^infty(k+1)2^k+1x^k

Resposta

2(1-2x)^2=sumn=0^infty(n+1)2^n+1x^n.

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