Derive termo a termo a série encontrada na parte (a), a fim de achar uma representação em série de potências para .
Passo 1
O enunciado pede para obter uma série de potências para a partir da série que encontramos na parte (a), que é a expansão geométrica de . Vamos usar derivação termo a termo.
Passo 2
A teoria envolvida é que, dentro do raio de convergência, podemos derivar uma série de potências termo a termo. Sabemos que
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 3
No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
No lado direito, derivando termo a termo:
Passo 4
Igualando as duas expressões, obtemos
Para escrever como uma série em potências de , reindexamos: seja , então e quando temos . Assim: